已知函數(shù)f(x)=x2-(1+2a)x+aln x(a為常數(shù)).
(1)當(dāng)a=-1時(shí),求曲線y=f(x)在x=1處切線的方程;
(2)當(dāng)a>0時(shí),討論函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(0,1)上的單調(diào)性,并寫(xiě)出相應(yīng)的單調(diào)區(qū)間.
(1)y=2x.(2)①當(dāng)0<a<時(shí),f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(0,a)和,單調(diào)減區(qū)間是,②當(dāng)a=時(shí),f(x)在區(qū)間(0,1)上是單調(diào)增函數(shù).③當(dāng)<a<1時(shí),f(x)的單調(diào)增區(qū)間是和(a,1),單調(diào)減區(qū)間是,④當(dāng)a≥1時(shí),f(x)的單調(diào)增區(qū)間是,單調(diào)減區(qū)間是
【解析】(1)當(dāng)a=-1時(shí),f(x)=x2+x-ln x,則f′(x)=2x+1-,(2分)
所以f(1)=2,且f′(1)=2.
所以曲線y=f(x)在x=1處的切線的方程為:y-2=2(x-1),
即:y=2x.(6分)
(2)由題意得f′(x)=2x-(1+2a)+= (x>0),
由f′(x)=0,得x1=,x2=a,(8分)
①當(dāng)0<a<時(shí),由f′(x)>0,又知x>0得0<x<a或<x<1
由f′(x)<0,又知x>0,得a<x<,
所以函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(0,a)和,單調(diào)減區(qū)間是,(10分)
②當(dāng)a=時(shí),f′(x)=≥0,且僅當(dāng)x=時(shí),f′(x)=0,?
所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)上是單調(diào)增函數(shù).(11分)
③當(dāng)<a<1時(shí),由f′(x)>0,又知x>0得0<x<或a<x<1,
由f′(x)<0,又知x>0,得<x<a,
所以函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間是和(a,1),單調(diào)減區(qū)間是,(13分)
④當(dāng)a≥1時(shí),由f′(x)>0,又知x>0得0<x<,
由f′(x)<0,又知x>0,得<x<1,
所以函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間是,單調(diào)減區(qū)間是.(16分)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2013-2014學(xué)年(安徽專用)高考數(shù)學(xué)(文)專題階段評(píng)估模擬卷3練習(xí)卷(解析版) 題型:解答題
已知點(diǎn)集L={(x,y)|y=m·n},其中m=(2x-2b,1),n=(1,1+2b),點(diǎn)列Pn(an,bn)在點(diǎn)集L中,P1為L的軌跡與y軸的交點(diǎn),已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列,且公差為1,n∈N*.
(1)求數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)求·OPn+1的最小值;
(3)設(shè)cn= (n≥2),求c2+c3+c4+…+cn的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2013-2014學(xué)年(安徽專用)高考數(shù)學(xué)(文)專題階段評(píng)估模擬卷2練習(xí)卷(解析版) 題型:選擇題
設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z·(1-i)=3-i,i為虛數(shù)單位,則z=( )
A.1+2i B.1-2i
C.2+i D.2-i
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2013-2014學(xué)年(安徽專用)高考數(shù)學(xué)(文)專題階段評(píng)估模擬卷1練習(xí)卷(解析版) 題型:選擇題
關(guān)于x的不等式x2-2ax-8a2<0(a>0)的解集為(x1,x2),且x2-x1=15,則a=( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2013-2014學(xué)年高考數(shù)學(xué)(文)三輪專題體系通關(guān)訓(xùn)練解答題押題練D組練習(xí)卷(解析版) 題型:解答題
若兩個(gè)橢圓的離心率相等,則稱它們?yōu)?/span>“相似橢圓”.如圖,在直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓C1:=1,A1,A2分別為橢圓C1的左、右頂點(diǎn).橢圓C2以線段A1A2為短軸且與橢圓C1為“相似橢圓”.
(1)求橢圓C2的方程;
(2)設(shè)P為橢圓C2上異于A1,A2的任意一點(diǎn),過(guò)P作PQ⊥x軸,垂足為Q,線段PQ交橢圓C1于點(diǎn)H.求證:H為△PA1A2的垂心.(垂心為三角形三條高的交點(diǎn))
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2013-2014學(xué)年高考數(shù)學(xué)(文)三輪專題體系通關(guān)訓(xùn)練解答題押題練B組練習(xí)卷(解析版) 題型:解答題
已知數(shù)列{an}的前三項(xiàng)分別為a1=5,a2=6,a3=8,且數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn+m=(S2n+S2m)-(n-m)2,其中m,n為任意正整數(shù).
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和Sn;
(2)求滿足-an+33=k2的所有正整數(shù)k,n.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2013-2014學(xué)年高考數(shù)學(xué)(文)三輪專題體系通關(guān)訓(xùn)練解答題押題練A組練習(xí)卷(解析版) 題型:解答題
已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,滿足8Sn=a+4an+3(n∈N*),且a1,a2,a7依次是等比數(shù)列{bn}的前三項(xiàng).
(1)求數(shù)列{an}及{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)是否存在常數(shù)a>0且a≠1,使得數(shù)列{an-logabn}(n∈N*)是常數(shù)列?若存在,求出a的值;若不存在,說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2013-2014學(xué)年高考數(shù)學(xué)(文)三輪專題體系通關(guān)訓(xùn)練填空題押題練F組練習(xí)卷(解析版) 題型:填空題
已知復(fù)數(shù)z滿足(z-2)i=1+i(i為虛數(shù)單位),則z的模為________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2013-2014學(xué)年高考數(shù)學(xué)(文)三輪專題體系通關(guān)訓(xùn)練填空題押題練C組練習(xí)卷(解析版) 題型:填空題
已知等比數(shù)列{an}的公比為正數(shù),且a3·a9=2,a2=1,則a1=________.
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