【題目】已知函數(shù)f(x)=lnx.
(1)若a=4,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1]內(nèi)單調(diào)遞增,求實數(shù)a的取值范圍;
(3)若x1、x2∈R+,且x1≤x2,求證:(lnx1﹣lnx2)(x1+2x2)≤3(x1﹣x2).
【答案】(1)見解析;(2);(3)見解析
【解析】
(1)將a=4代入f(x)求出f(x)的導(dǎo)函數(shù),然后根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號,得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)根據(jù)條件將問題轉(zhuǎn)化為在,上恒成立問題,然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出的范圍;
(3)根據(jù)條件將問題轉(zhuǎn)化為成立問題,令,即成立,再利用函數(shù)的單調(diào)性證明即可.
解:(1)的定義域是,,
所以時,,
由,解得或,
由,解得,
故在和,上單調(diào)遞增,在,上單調(diào)遞減.
(2)由(1)得,
若函數(shù)在區(qū)間,遞增,則有在,上恒成立,
即在,上恒成立成立,所以只需,
因為函數(shù)在時取得最小值9,所以,
所以a的取值范圍為.
(3)當(dāng)時,不等式顯然成立,
當(dāng)時,因為,,所以要原不等式成立,
只需成立即可,
令,則,
由(2)可知函數(shù)在,遞增,所以,
所以成立,
所以(lnx1﹣lnx2)(x1+2x2)≤3(x1﹣x2).
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【題目】如圖,有一塊矩形空地,要在這塊空地上開辟一個內(nèi)接四邊形為綠地,使其四個頂點分別落在矩形的四條邊上,已知且設(shè),綠地面積為.
(1)寫出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式,并指出這個函數(shù)的定義域.
(2)當(dāng)為何值時,綠地面積最大?
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【題目】給出下列四個命題,其中正確命題的個數(shù)是______個.
①線段在平面內(nèi),則直線不在平面內(nèi);②兩平面有一個公共點,則一定有無數(shù)個公共點;③三條平行直線共面;④空間三點確定一個平面.
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【題目】如圖,三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)面BB1C1C為∠CBB1=60°的菱形,AB=AC1 .
(1)證明:平面AB1C⊥平面BB1C1C
(2)若AB⊥B1C,直線AB與平面BB1C1C所成的角為30°,求直線AB1與平面A1B1C 所成角的正弦值.
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【題目】巳知集合P={},Q={},將P∪Q的所有元素從小到大依次排列構(gòu)成一個數(shù)列{},記為數(shù)列{}的前n項和,則使得<1000成立的的最大值為
A. 9 B. 32 C. 35 D. 61
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【題目】已知函數(shù)=,;
(1)討論的單調(diào)性;
(2)若不等式≥在(0,1)上恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.
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【題目】已知橢圓的離心率為,焦距為,直線過橢圓的左焦點.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若直線與軸交于點是橢圓上的兩個動點,的平分線在軸上,.試判斷直線是否過定點,若過定點,求出定點坐標(biāo);若不過定點,請說明理由.
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