Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a，b，c為常數(shù)），滿足條件
（1）圖象過原點(diǎn)；
（2）f（1+x）=f（1-x）；
（3）方程f（x）=x有兩個(gè)不等的實(shí)根試求f（x）的解析式并求x∈[-1，4]上的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì),函數(shù)的值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由（1）便得到c=0，而根據(jù)（2）知x=1是f（x）的對稱軸，所以得到b=-2a，所以f（x）=ax²-2ax．所以方程ax²-（2a+1）x=0有兩個(gè)相等實(shí)根0，所以可得到

2a+1

a

=0，a=-

1

2

，所以求得f（x）=-

1

2

x2+x，根據(jù)二次函數(shù)的圖象即可求得該函數(shù)在[-1，4]上的值域．

解答： 解：由（1）得，c=0；
由（2）知，f（x）的對稱軸為x=1，∴-

b

2a

=1，b=-2a；
∴f（x）=ax²-2ax；
∴由（3）知，ax²-（2a+1）x=0有兩個(gè)相等實(shí)根；
∴

2a+1

a

=0；
∴a=-

1

2

；
∴f(x)=-

1

2

x2+x=-

1

2

(x-1)2+

1

2

；
∴f（x）在[-1，4]上的值域?yàn)閇f（4），f（1）]=[-4，

1

2

]．

點(diǎn)評：考查曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)和曲線方程的關(guān)系，根據(jù)f（1+x）=f（1-x）能得出二次函數(shù)f（x）的對稱軸，以及解一元二次方程，根據(jù)二次函數(shù)的圖象或二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)到對稱軸的距離求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的值域．