【題目】已知橢圓:與軸的正半軸相交于點,點為橢圓的焦點,且是邊長為2的等邊三角形,若直線與橢圓交于不同的兩點.
(1)直線的斜率之積是否為定值?若是,請求出該定值;若不是,請說明理由;
(2)求的面積的最大值.
【答案】(1);(2).
【解析】試題分析:第1)由基本量求出橢圓方程后,利用“設而不求”的思想,將用,表示,也就是用表示,最終化出定值;
(2)將面積用表示,化為關(guān)于的函數(shù),用基本不等式求最值.
試題解析:(1)因為是邊長為2的等邊三角形,
所以,,,所以,
所以橢圓:,點.
將直線代入橢圓的方程,
整理得:,(*)
設,則由(*)式可得
,
所以,,,
所以直線的斜率之積
所以直線的斜率之積是定值.
(2)記直線與軸的交點為,
則
當且僅當,即時等號成立.
所以的面積的最大值為.
點晴:本題主要考查橢圓基本量的計算,直線與橢圓相交中的定值、最值問題,考查轉(zhuǎn)化能力、計算能力.第(1)問由基本量求出橢圓方程后,利用“設而不求”的思想,將用,表示,也就是用表示,最終化出定值;第(2)問將面積用表示,化為關(guān)于的函數(shù),用基本不等式求最值.
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【題目】已知函數(shù).
(1)當時,求函數(shù)在上的最大值;
(2)令,若在區(qū)間上為單調(diào)遞增函數(shù),求的取值范圍;
(3)當時,函數(shù)的圖象與軸交于兩點且,又是的導函數(shù).若正常數(shù)滿足條件.證明:<0.
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【題目】關(guān)于的方程,給出下列四個判斷:
①存在實數(shù),使得方程恰有4個不同的實根;
②存在實數(shù),使得方程恰有5個不同的實根;
③存在實數(shù),使得方程恰有6個不同的實根;
④存在實數(shù),使得方程恰有8個不同的實根;
其中正確的為________(寫出所有判斷正確的序號).
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【題目】已知函數(shù).
(1)當時,證明函數(shù)在是單調(diào)函數(shù);
(2)當時,函數(shù)在區(qū)間上的最小值是,求的值;
(3)設,是函數(shù)圖象上任意不同的兩點,記線段的中點的橫坐標是,證明直線的斜率 .
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【題目】已知直線與函數(shù)的圖像相切于點.
(1)求實數(shù)的值;
(2)證明除切點外,直線總在函數(shù)的圖像的上方;
(3)設是兩兩不相等的正實數(shù),且成等比數(shù)列,試判斷與的大小關(guān)系,并證明你的結(jié)論.
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【題目】如圖,在正三棱柱ABCA1B1C1中,F,F1分別是AC,A1C1的中點.
求證:(1)平面AB1F1∥平面C1BF;
(2)平面AB1F1⊥平面ACC1A1.
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【題目】某投資人欲將5百萬元獎金投入甲、乙兩種理財產(chǎn)品,根據(jù)銀行預測,甲、乙兩種理財產(chǎn)品的收益與投入獎金的關(guān)系式分別為,其中為常數(shù)且.設對乙種產(chǎn)品投入獎金百萬元,其中.
(1)當時,如何進行投資才能使得總收益最大;(總收益)
(2)銀行為了吸儲,考慮到投資人的收益,無論投資人獎金如何分配,要使得總收益不低于,求的取值范圍.
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