【題目】如圖,在三棱柱中,,側(cè)面是邊長為2的正方形,點分別是線段,的中點,且.

1)證明:平面平面

2)若,求直線與平面所成角的正弦值.

【答案】1)證明見解析;(2.

【解析】

1)取中點,連接,由正方形性質(zhì)及條件,可證明平面,從而可得,進(jìn)而證明平面,即可由面面垂直的判定定理證明平面平面;

2)結(jié)合(1)及線面垂直關(guān)系,可得.為坐標(biāo)原點,分別為軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系,寫出各個點的坐標(biāo),并求得平面的法向量,即可由線面夾角的向量求法求得直線與平面所成角的正弦值.

1)證明:取中點,連接,如下圖所示:

三棱柱中,, 中點,

是為正方形,點、分別是線段的中點,中點,

所以,

又因為,且,

所以平面,

又因為平面,

所以,

相交,則平面

又因為平面,

所以平面平面.

2)因為,平面平面,平面平面.

所以平面,

.

又因為,,

所以平面,則.

所以.

平面,

所以平面,

從而.

為坐標(biāo)原點,分別為軸正方向,建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系:

,.

所以.

設(shè)平面的法向量為.

,即,令,解得

,

設(shè)直線與平面所成的角為,

由直線與平面夾角的求法可得.

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