【題目】已知雙曲線的左、右焦點分別為,,過作一條直線與其兩條漸近線交于兩點,若為等腰直角三角形,記雙曲線的離心率為,則______________.

【答案】2

【解析】

根據(jù)等腰三角形直角頂點的不同,分三種情況討論.先求得對應(yīng)漸近線的傾斜角,可得漸近線的斜率,進(jìn)而得的等量關(guān)系,即可求得雙曲線離心率的平方值.

作一條直線與其兩條漸近線交于兩點,若為等腰直角三角形,有以下三種情況:

①,當(dāng)過的直線斜率不存在時,如下圖所示:

根據(jù)雙曲線的對稱性可知,若為等腰直角三角形,

.

所以其中一條漸近線的傾斜角為,即,

,由雙曲線性質(zhì)可得,

所以;

②,當(dāng)過的直線與漸近線的兩支相交情況如下圖所示時:

為等腰直角三角形,

,

所以此時其中一條漸近線的傾斜角為,由半角公式可得

所以,

,

所以由,

所以.

③當(dāng)過的直線與漸近線的兩支相交情況如下圖所示時:

為等腰直角三角形,

,

所以此時其中一條漸近線的傾斜角為,由半角公式可得

所以,

所以由,

所以

綜上可知,雙曲線離心率的平方為2,

故答案為:2.

練習(xí)冊系列答案
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A.每相鄰兩年相比較,2014年到2015年鐵路運營里程增加最顯著

B.從2014年到2018年這5年,高鐵運營里程與年價正相關(guān)

C.2018年高鐵運營里程比2014年高鐵運營里程增長80%以上

D.從2014年到2018年這5年,高鐵運營里程數(shù)依次成等差數(shù)列

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不小于40

小于40

合計

單車用戶

12

y

m

非單車用戶

x

32

70

合計

n

50

100

1)求出列聯(lián)表中字母x、ym、n的值;

2)①從此樣本中,對單車用戶按年齡采取分層抽樣的方法抽出5人進(jìn)行深入調(diào)研,其中不小于40歲的人應(yīng)抽多少人?

②從獨立性檢驗角度分析,能否有以上的把握認(rèn)為該市成人市民是否為單車用戶與年齡是否小于40歲有關(guān).

下面臨界值表供參考:

P

0.15

0.10

0.05

0.25

0.010

0.005

0.001

k

2.072

2.706

3.841

5.024

6635

7.879

10.828

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