Question

解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．

已知函數(shù)滿足ax·f(x)＝2bx＋f(x)，a≠0，f(x)＝1；且使f(x)＝2x成立的實數(shù)x只有一個．

(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的表達(dá)式；

(Ⅱ)若數(shù)列{a_n}滿足，a_n+1＝f(a_n)，，n∈^*，證明：

數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，并求出{b_n}的通項公式；

(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下，證明：a₁b₁＋a₂b₂＋…＋a_nb_n＜1，n∈N^*．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)由ax·f(x)＝2bx＋f(x)，，a≠0，得． 　　由f(1)＝1，得a＝2b＋1． 　　由f(x)＝2x只有一解，即，也就是2ax2－2(1＋b)x＝0(a≠0)只有一解， 　　∴4(1＋b)2－×2a×0＝0 　　∴b＝－1． 　　∴a＝－1．故． 　　(Ⅱ)∵，，∴， 　　，， 　　猜想，． 　　下面用數(shù)學(xué)歸納法證明： 　　10當(dāng)n＝1時，左邊＝，右邊＝，∴命題成立． 　　20假設(shè)n＝k時，命題成立，即； 　　當(dāng)　n＝k＋1時，， 　　∴當(dāng)　n＝k＋1時，命題成立． 　　由10，20可得，當(dāng)n∈N*時，有． 　　∵，∴ 　　∴{bn}是首項為，公比為的等比數(shù)列，其通項公式為． 　　(Ⅲ)∵， 　　∴．