Question

解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．

下圖是一個直三棱柱(以A₁B₁C₁為底面)，被一平面所截得的幾何體，截面為ABC．已知A₁B₁＝B₁C₁＝1，∠A₁B₁C₁＝90°，AA₁＝4，BB₁＝2，CC₁＝3

(Ⅰ)設(shè)點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，證明：OC∥平面A₁B₁C₁

(Ⅱ)求AB與平面AA₁CC₁所成角的正弦值．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)證明：作OD∥AA1交A1B1于D，連C1D． 　　則OD∥BB1∥CC1， 　　因?yàn)镺是AB的中點(diǎn)， 　　所以． 　　則ODC1C是平行四邊形，因此有∥C1D， 　　C1D平面C1B1A1，且OC平面C1B1A1 　　則OC∥面A1B1C1． 　　(Ⅱ)解：如圖，過B作截面BA2C2∥面A1B1C1，分別交AA1，CC1于A2，C2， 　　作BH⊥A2C2于H， 　　因?yàn)槠矫鍭2BC2⊥平面AA1C1C，則BH⊥面AA1C1C． 　　連結(jié)AH，則∠BAH就是AB與面AA1C1C所成的角． 　　因?yàn)锽H＝，AB＝，所以． 　　所以AB與面AA1C1C所成的角的正弦值為． 　　解法二： 　　(Ⅰ)證明：如圖，以B1為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則A(0，1，4)，B(0，0，2)，C(1，0，3)，因?yàn)镺是AB的中點(diǎn)，所以，， 　　易知，是平面A1B1C1的一個法向量． 　　由且平面A1B1C1知OC∥平面A1B1C1． 　　(Ⅱ)設(shè)AB與面AA1C1C所成的角為θ． 　　求得，． 　　設(shè)是平面AA1C1C的一個法向量，則由得， 　　取x＝y(tǒng)＝1得：． 　　又因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/1256/0018/c7ff3be0e829b83930e78681b47ff44d/C/Image103.gif" width=129 height=25> 　　所以，，則． 　　所以AB與面AA1C1C所成的角的正弦值為．