Question

（2014•郴州三模）設(shè)集合A⊆R，如果x0∈R滿足：對(duì)任意a＞0，都存在x∈A，使得0＜|x﹣x0|＜a，那么稱x0為集合A的一個(gè)聚點(diǎn)．則在下列集合中：

（1）Z+∪Z﹣；

（2）R+∪R﹣；

（3）{x|x=，n∈N*}；

（4）{x|x=，n∈N*}．

其中以0為聚點(diǎn)的集合有（ ）

A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)

 

Answer 1

B

【解析】

試題分析：根據(jù)集合聚點(diǎn)的新定義，我們逐一分析四個(gè)集合中元素的性質(zhì)，并判斷是否滿足集合聚點(diǎn)的定義，進(jìn)而得到答案．

【解析】
（1）對(duì)于某個(gè)a＜1，比如a=0.5，此時(shí)對(duì)任意的x∈Z+∪Z﹣，都有|x﹣0|=0或者|x﹣0|≥1，也就是說(shuō)不可能0＜|x﹣0|＜0.5，從而0不是Z+∪Z﹣的聚點(diǎn)；

（2）集合{x|x∈R，x≠0}，對(duì)任意的a，都存在x=（實(shí)際上任意比a小得數(shù)都可以），使得0＜|x|=＜a，

∴0是集合{x|x∈R，x≠0}的聚點(diǎn)；

（3）集合{x|x=，n∈N*}中的元素是極限為0的數(shù)列，對(duì)于任意的a＞0，存在n＞，使0＜|x|=＜a，

∴0是集合 {x|x=，n∈N*}的聚點(diǎn)；

（4）中，集合{x|x=，n∈N*}中的元素是極限為1的數(shù)列，除了第一項(xiàng)0之外，其余的都至少比0大，

∴在a＜的時(shí)候，不存在滿足得0＜|x|＜a的x，

∴0不是集合{x|x=，n∈N*}的聚點(diǎn)；

故選：B