已知正項(xiàng)數(shù)列{an}中,a1=1,且log3an,log3an+1是方程x2(2n1)x+bn=0的兩個(gè)實(shí)根.

（1）求a2,b1;

（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;

（3）若,是前項(xiàng)和, ,當(dāng)時(shí),試比較與的大小.

 

【答案】

（1），；（2）；（Ⅲ）當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí), ．

【解析】

試題分析：（1）是方程的兩個(gè)實(shí)根，有根與系數(shù)關(guān)系可得，，，求，的值，可利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，及已知，只需令即可求出，的值；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式，由得，，所以，即，得數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別是公比為9的等比數(shù)列，分別寫出奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)的通項(xiàng)公式，從而可得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅲ）若,是前項(xiàng)和, ,當(dāng)時(shí),試比較與的大小，此題關(guān)鍵是求數(shù)列的通項(xiàng)公式，由（1）可知，可得，當(dāng)時(shí), =0,=0,得，當(dāng)時(shí),有基本不等式可得，從而可得0+=，即可得結(jié)論．

試題解析：（1）,

當(dāng)時(shí),,,

,

（2）,,

的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別是公比為9的等比數(shù)列.

,,

（3）

當(dāng)時(shí), =0,=0,.

當(dāng)時(shí),

0+=

綜上,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí), .

或

猜測(cè)時(shí),用數(shù)學(xué)歸納法證明

①當(dāng)時(shí),已證

②假設(shè)時(shí),成立

當(dāng)時(shí),

即時(shí)命題成立

根據(jù)①②得當(dāng)時(shí),

綜上,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),

考點(diǎn)：求數(shù)列的通項(xiàng)公式，數(shù)列求和．

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知正項(xiàng)數(shù)列{an}滿足：a1=3，（2n-1）an+2=（2n+1）an-1+8n2（n＞1，n∈N*）
（1）求證：數(shù)列{
an
2n+1
}為等差數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an．
（2）設(shè)bn=
1
an
，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，并求Sn的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

定義：稱
n
a1+a2+…+an
為n個(gè)正數(shù)a1，a2，…，an的“均倒數(shù)”，已知正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的“均倒數(shù)”為
1
2n
，則
lim
n→∞
nan
sn
（　�。�
A、0
B、1
C、2
D、
1
2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知正項(xiàng)數(shù)列an中，a1=2，點(diǎn)(
an
，an+1)在函數(shù)y=x2+1的圖象上，數(shù)列bn中，點(diǎn)（bn，Tn）在直線y=-
1
2
x+3上，其中Tn是數(shù)列bn的前項(xiàng)和．（n∈N+）．
（1）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知正項(xiàng)數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=an2+2an（n∈N+），令bn=log2（an+1）．
（1）求證：數(shù)列{bn}為等比數(shù)列；
（2）記Tn為數(shù)列{
1
log2bn+1•log2bn+2
}的前n項(xiàng)和，是否存在實(shí)數(shù)a，使得不等式Tn＜log0.5(a2-
1
2
a)對(duì)?n∈N+恒成立？若存在，求出實(shí)數(shù)a的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知正項(xiàng)數(shù)列{an}，Sn=
1
8
(an+2)2
（1）求證：{an}是等差數(shù)列；
（2）若bn=
1
2
an-30，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和．

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