已知函數(shù)
(
>0)的圖象在點(diǎn)
處的切線方程為
.
(1)用
表示
;
(2)若
在
上恒成立,求
的取值范圍;
(3)證明:1+
+
+…+
>
+
.
(Ⅰ)
(II)
(Ⅲ)見解析
(1)求函數(shù)
導(dǎo)數(shù)得
,根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得
就可得到用
表示
的式子;(2)若
在
上恒成立,即
在
上恒成立。構(gòu)造函數(shù)
,利用
,再討論
的取值范圍研究
的單調(diào)性使
的最小值大于等于0可得
的取值范圍;
(3)由(2)知當(dāng)
時(shí),有
, (
) 若
,有
。結(jié)合要證的結(jié)論,令
,
。分別把
的值代入
,得到
個(gè)不等式依次相加得
整理即得結(jié)論。本題是與自然數(shù)有關(guān)的問題也可用數(shù)學(xué)歸納法證明
(Ⅰ)
,則有
,解得
…3分
(II)由(Ⅰ)知,
令
,
則
,
……4分
(ⅰ)當(dāng)
時(shí),
,
若
,則
,
單調(diào)遞減,所以
即
,
故
在
上不恒成立. …………6分
(ⅱ) 當(dāng)
時(shí),
,
若
,則
,
是增函數(shù),所以
即
,故當(dāng)
時(shí),
. …………8分
綜上所述,所求
的取值范圍為
…………9分
(Ⅲ)解法一:
由(Ⅱ)知,當(dāng)
時(shí),有
, (
)
令
,有
且當(dāng)
時(shí),
……10分
令
,有
即
,
…………12分
將上述
個(gè)不等式依次相加得
整理得
…………14分
解法二: 用數(shù)學(xué)歸納法證明
(1) 當(dāng)
時(shí),左邊
,右邊
, 不等式成立.…………10分
(2) 假設(shè)
時(shí), 不等式成立, 就是
那么
由(Ⅱ)知,當(dāng)
時(shí),有
, (
)
令
,有
, (
)
令
,有
所以
即
這就是說,當(dāng)
時(shí), 不等式也成立!13分
根據(jù)(1)和(2),可知不等式對任何
都成立。
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
函數(shù)
在區(qū)間
的值域?yàn)?nbsp;( )
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
設(shè)函數(shù)
.
(Ⅰ) 當(dāng)
時(shí),求
的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ) 若
在
上的最大值為
,求
的值.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
已知函數(shù)
在
處取得極值,過點(diǎn)
作曲線
的切線
,(1)求此切線
的方程.(2)求切線
與函數(shù)
的圖象圍成的平面圖形的面積。
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
若點(diǎn)
在曲線
上移動(dòng),點(diǎn)
處的切線的傾斜角為
,則角
的取值范圍是
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
已知可導(dǎo)函數(shù)
的導(dǎo)函數(shù)
滿足
,則當(dāng)
時(shí),
和
(
是自然對數(shù)的底數(shù))大小關(guān)系為( ▲ )
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
曲線
處的切線傾斜角為________.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
已知函數(shù)
,則
.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
曲線
軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是( )
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