【題目】已知函數(shù)()(…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).
(1)求單調(diào)區(qū)間;
(2)討論在區(qū)間內(nèi)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).
【答案】(1) 當(dāng)時(shí), , 單調(diào)增間為,無減區(qū)間;
當(dāng)時(shí), 單調(diào)減間為,增區(qū)間為
(2) 所以或或時(shí), 有兩個(gè)零點(diǎn);
當(dāng)且時(shí), 有三個(gè)零點(diǎn)
【解析】試題分析:(1) 求出, 討論, 兩種情況,分別令得增區(qū)間, 得減區(qū)間;(2)要求在區(qū)間內(nèi)零點(diǎn)的個(gè)數(shù),考慮在區(qū)間的零點(diǎn)個(gè)數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,分三種情況, , ,分別求出零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可.
試題解析:(1)
當(dāng)時(shí), , 單調(diào)增間為,無減區(qū)間;
當(dāng)時(shí), 單調(diào)減間為,增區(qū)間為
(2)由得或
先考慮在區(qū)間的零點(diǎn)個(gè)數(shù)
當(dāng)時(shí), 在單調(diào)增且, 有一個(gè)零點(diǎn);
當(dāng)時(shí), 在單調(diào)遞減, 有一個(gè)零點(diǎn);
當(dāng)時(shí), 在單調(diào)遞減, 單調(diào)遞增.
而,所以或時(shí), 有一個(gè)零點(diǎn),當(dāng)時(shí), 有兩個(gè)零點(diǎn)
而時(shí),由得
所以或或時(shí), 有兩個(gè)零點(diǎn);
當(dāng)且時(shí), 有三個(gè)零點(diǎn).
【方法點(diǎn)晴】本題主要考查的是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn),屬于難題.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)一步求函數(shù)最值的步驟:①確定函數(shù)的定義域;②對(duì)求導(dǎo);③令,解不等式得的范圍就是遞增區(qū)間;令,解不等式得的范圍就是遞減區(qū)間.
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【題目】四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的三視圖如圖所示,則異面直線D1C與AC1所成的角為( )
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
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【題目】已知正項(xiàng)數(shù)列滿足: , .為數(shù)列的前項(xiàng)和.
(Ⅰ)求證:對(duì)任意正整數(shù),有;
(Ⅱ)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,求證:對(duì)任意,總存在正整數(shù),使得時(shí), .
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【題目】已知集合A={x|x<﹣2或3<x≤4},B={x|x2﹣2x﹣15≤0}.求:
(1)A∩B;
(2)若C={x|x≥a},且B∩C=B,求a的范圍.
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【題目】已知函數(shù)f(x)= ,x∈[2,4].
(1)判斷f(x)的單調(diào)性,并利用單調(diào)性的定義證明:
(2)求f(x)在[2,4]上的最值.
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【題目】下列各組函數(shù)是同一函數(shù)的是( )
A.y= 與y=2
B.y= 與y=x(x≠﹣1)
C.y=|x﹣2|與y=x﹣2(x≥2)
D.y=|x+1|+|x|與y=2x+1
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【題目】設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且f(x)= ,則g[f(﹣7)]=( )
A.3
B.﹣3
C.2
D.﹣2
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【題目】已知偶函數(shù)y=f(x)(x∈R)在區(qū)間[0,3]上單調(diào)遞增,在區(qū)間[3,+∞)上單調(diào)遞減,且滿足f(﹣4)=f(1)=0,則不等式x3f(x)<0的解集是( )
A.(﹣4,﹣1)∪(1,4)
B.(﹣∞,﹣4)∪(﹣1,1)∪(3,+∞)
C.(﹣∞,﹣4)∪(﹣1,0)∪(1,4)
D.(﹣4,﹣1)∪(0,1)∪(4,+∞)
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【題目】已知f(x)= .
(1)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性并證明;
(2)證明f(x)是定義域內(nèi)的增函數(shù);
(3)解不等式f(1﹣m)+f(1﹣m2)>0.
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