【題目】已知函數(shù), .
(1)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若, 恒成立,求的取值范圍.
【答案】(1)當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是,單調(diào)遞減區(qū)間是;(2).
【解析】【試題分析】(1)依據(jù)題設(shè)條件運(yùn)用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系分類求解;(2)先將不等式進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化,再構(gòu)造函數(shù)借助導(dǎo)數(shù)知識(shí)及分類整合思想分析求解:
(1),
(。┊(dāng)時(shí), ,函數(shù)在上單調(diào)遞增;
(ⅱ)當(dāng)時(shí),令,則,
當(dāng),即時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增;
當(dāng),即時(shí),函數(shù)單調(diào)遞減.
綜上,當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是,單調(diào)遞減區(qū)間是.
(2)令,由(1)可知,函數(shù)的最小值為,所以,即.
恒成立與恒成立等價(jià),
令,即,則,
①當(dāng)時(shí), (或令,則在上遞增,∴,∴在上遞增,∴,∴)
∴在區(qū)間上單調(diào)遞增,
∴,
∴恒成立,
②當(dāng)時(shí),令,則,
當(dāng)時(shí), ,函數(shù)單調(diào)遞增.
又, ,
∴存在,使得,故當(dāng)時(shí), ,即,故函數(shù)在上單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí), ,即,故函數(shù)在上單調(diào)遞增.
∴,
即, 不恒成立,
綜上所述, 的取值范圍是.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某班同學(xué)利用國慶節(jié)進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐,對(duì)[25,55]歲的人群隨機(jī)抽取人進(jìn)行了一次生活習(xí)慣是否符合低碳觀念的調(diào)查,若生活習(xí)慣符合低碳觀念的稱為“低碳族”,否則稱為“非低碳族”,得到如下統(tǒng)計(jì)表和各年齡段人數(shù)頻率分布直方圖:
組數(shù) | 分組 | 低碳族的人數(shù) | 占本組的頻率 |
第一組 | [25,30) | 120 | 0.6 |
第二組 | [30,35) | 195 | |
第三組 | [35,40) | 100 | 0.5 |
第四組 | [40,45) | 0.4 | |
第五組 | [45,50) | 30 | 0.3 |
第六組 | [50,55] | 15 | 0.3 |
(1)補(bǔ)全頻率分布直方圖并求 的值;
(2)從年齡段在[40,50)的“低碳族”中采用分層抽樣法抽取6人參加戶外低碳體驗(yàn)活動(dòng),其中選取2人作為領(lǐng)隊(duì),求選取的2名領(lǐng)隊(duì)中恰有1人年齡在[40,45)歲的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),且2a1+3a2=1,a32=9a2a6 ,
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)bn=log3a1+log3a2+…+log3an , 求數(shù)列{ }的前n項(xiàng)和.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】矩形ABCD的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)M(2,0),AB邊所在直線的方程為x-3y-6=0,點(diǎn)T(-1,1)在AD邊所在直線上.
(1)求AD邊所在直線的方程;
(2)求矩形ABCD外接圓的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓: 的短軸長為2,且函數(shù)的圖象與橢圓僅有兩個(gè)公共點(diǎn),過原點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn).
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)點(diǎn)為線段的中垂線與橢圓的一個(gè)公共點(diǎn),求面積的最小值,并求此時(shí)直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四凌錐S﹣ABCD中,底面ABCD是直角梯形,AD∥BC,SA⊥CD,AB⊥平面SAD,M是SC的中點(diǎn),且SA=AB=BC=2,AD=1.
(1)求證:DM∥平面SAB;
(2)求四棱錐S﹣ABCD的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,矩形中, , 為邊的中點(diǎn),將沿直線翻轉(zhuǎn)成.若為線段的中點(diǎn),則在翻折過程中:
①是定值;②點(diǎn)在某個(gè)球面上運(yùn)動(dòng);
③存在某個(gè)位置,使;④存在某個(gè)位置,使平面.
其中正確的命題是_________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某電子原件生產(chǎn)廠生產(chǎn)的10件產(chǎn)品中,有8件一級(jí)品,2件二級(jí)品,一級(jí)品和二級(jí)品在外觀上沒有區(qū)別.從這10件產(chǎn)品中任意抽檢2件,計(jì)算:
(1)2件都是一級(jí)品的概率;
(2)至少有一件二級(jí)品的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|< )的圖象一個(gè)最高點(diǎn)為P( ,2),相鄰最低點(diǎn)為Q( ,﹣2),當(dāng)x∈[﹣ , ]時(shí),求f(x)的值域.
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