Question

【題目】已知函數(shù)，其中.

（Ⅰ）討論函數(shù)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

（Ⅱ）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，其中且，是否存在整數(shù)使得不等式

恒成立？若存在，求整數(shù)的值；若不存在，請說明理由.（參考數(shù)據(jù)： ）

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析;（Ⅱ）或.

【解析】試題分析：（Ⅰ）求導(dǎo)得，令，討論，結(jié)合單調(diào)性可得解；

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知， 是方程的兩根，所以，可得，令，設(shè)（），可得，即，進(jìn)而得所以，求解即可.

試題解析：

（Ⅰ）由得， .

①當(dāng)時(shí)，即， ，所以為增函數(shù)，沒有極值點(diǎn).

②當(dāng)時(shí)，即或，由得

若，則，當(dāng)時(shí)， ，即，所以為

增函數(shù)，沒有極值點(diǎn),若，則，當(dāng)變化時(shí)， 與的變化情況如下表：

所以函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)綜上可知：當(dāng)時(shí)， 極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為；當(dāng)時(shí)， 極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知， 是方程的兩根，所以.

令，因?yàn)?/span>，所以，設(shè)（）

因?yàn)?/span>所以在上為減函數(shù)，所以，因?yàn)?/span>

所以，即.

因?yàn)?/span>，所以

所以，解得因?yàn)?/span>，所以，又因?yàn)?/span>，所以或

所以存在整數(shù)或使得不等式恒成立.