Question

設(shè)n為正整數(shù)，規(guī)定f₁（x）=f（x），…f_n（x）=f（f（…f（x））），已知f（x）=

2(1-x)，0≤x≤1 x-1，1＜x≤2

．
（1）解不等式：f（x）≤x；
（2）設(shè)集合A={0，1，2}，求證：對任意x∈A，都有f₂（x）=x；
（3）求f₂₀₁₄（

8

9

）；
（4）若集合B={x|f₁₂（x）=x，x∈[0，2]}，求證：B中至少包含有8個元素．

Answer 1

考點：其他不等式的解法,分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：證明題,新定義,分類討論,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,集合

分析：（1）分類討論解出即可；
（2）利用分段函數(shù)的意義得出函數(shù)值即可；
（3）利用已知得出其周期即可；
（4）利用（2）（3）即可找出幾何B中至少含有8個元素．

解答： （1）解：①當0≤x≤1時，由2（1-x）≤x，得x≥

2

3

，∴

2

3

≤x≤1．
②當1＜x≤2時，∵x-1≤x恒成立，∴1＜x≤2． 
由①②得f（x）≤x的解集為{x|

2

3

≤x≤2}；
（2）證明：∵f（0）=2，f（1）=0，f（2）=1，
∴當x=0時，f₃（0）=f（f（f（0）））=f（f（2））=f（1）=0，
當x=1時，f₃（1）=f（f（f（1）））=f（f（0））=f（2）=1，
當x=2時，f₃（2）=f（f（f（2）））=f（f（1））=f（0）=2．  
則有對任意x∈A，都有f₃（x）=x；
（3）解：f₁（

8

9

）=2×（1-

8

9

）=

2

9

，
f₂（

8

9

）=f（f₁（

8

9

））=f（

2

9

）=

14

9

，
f₃（

8

9

）=f（f₂（

8

9

））=f（

14

9

）=

14

9

-1=

5

9

，
f₄（

8

9

）=f（f₃（

8

9

））=f（

5

9

）=

8

9

，
一般地，f_4k+r（

8

9

）=f_r（

8

9

），（k，r∈N^*），
∴f₂₀₁₄（

8

9

）=f₂（

8

9

）=

14

9

； 
（4）證明：由（1）知，f（

2

3

）=

2

3

，
∴f_n（

2

3

）=

2

3

，則f₁₂（

2

3

）=

2

3

，

2

3

∈B．
由（2）知，對x=0或x=1或x=2恒有f₃（x）=x，
∴f₁₂（x）=f_4×3（x）=x，則0，1，2∈B．
由（3）知，對x=

8

9

，恒有f₁₂（x）=f_4×3（x）=x，
∴

8

9

，

2

9

，

14

9

，

5

9

∈B．
綜上所述：

2

3

，0，1，2，

8

9

，

2

9

，

14

9

，

5

9

∈B
∴B中至少包含8個元素．

點評：熟練掌握分類討論思想方法、分段函數(shù)的意義、函數(shù)的周期性等是解題的關(guān)鍵．