【題目】二次函數(shù)f(x)滿足f(x+1)﹣f(x)=2x,且f(0)=1.
(1)求f(x)的解析式;
(2)在區(qū)間[﹣1,1]上,y=f(x)的圖象恒在y=2x+m的圖象上方,試確定實數(shù)m的范圍.
【答案】
(1)解:設f(x)=ax2+bx+c,由f(0)=1得c=1,故f(x)=ax2+bx+1.
因為f(x+1)﹣f(x)=2x,所以a(x+1)2+b(x+1)+1﹣(ax2+bx+1)=2x.
即2ax+a+b=2x,所以 ,∴ ,
所以f(x)=x2﹣x+1
(2)解:由題意得x2﹣x+1>2x+m在[﹣1,1]上恒成立.即x2﹣3x+1﹣m>0在[﹣1,1]上恒成立.
設g(x)=x2﹣3x+1﹣m,其圖象的對稱軸為直線 ,所以g(x)在[﹣1,1]上遞減.
故只需最小值g(1)>0,即12﹣3×1+1﹣m>0,
解得m<﹣1
【解析】(1)先設f(x)=ax2+bx+c,在利用f(0)=1求c,再利用兩方程相等對應項系數(shù)相等求a,b即可.(2)轉(zhuǎn)化為x2﹣3x+1﹣m>0在[﹣1,1]上恒成立問題,找其在[﹣1,1]上的最小值讓其大于0即可.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知圓C與x軸相切,圓心C在射線3x﹣y=0(x>0)上,直線x﹣y=0被圓C截得的弦長為2
(1)求圓C標準方程;
(2)若點Q在直線l1:x+y+1=0上,經(jīng)過點Q直線l2與圓C相切于p點,求|QP|的最小值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知直線x+ay﹣1=0是圓C:x2+y2﹣4x﹣2y+1=0的對稱軸,過點A(﹣4,a)作圓C的一條切線,切點為B,則|AB|=( )
A.2
B.6
C.4
D.2
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中點.
(1)證明CD⊥AE;
(2)證明PD⊥平面ABE;
(3)求二面角A﹣PD﹣C的正切值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖所示,已知直二面角α﹣AB﹣β,P∈α,Q∈β,PQ與平面α,β所成的角都為30°,PQ=4,PC⊥AB,C為垂足,QD⊥AB,D為垂足,求:
(1)直線PQ與CD所成角的大小
(2)四面體PCDQ的體積.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,四面體ABCD中,O、E分別是BD、BC的中點,CA=CB=CD=BD=2,AB=AD= .
(Ⅰ)求證:AO⊥平面BCD;
(Ⅱ)求異面直線AB與CD所成角的余弦;
(Ⅲ)求點E到平面ACD的距離.
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