Question

【題目】已知實數(shù)滿足，且.證明：存在整數(shù)，使得.

Answer 1

【答案】證明見解析

【解析】

記.

構(gòu)造下列51個數(shù)：，

，

.

下面證明中至少有一個在區(qū)間內(nèi).

由上述符號的含義，

知，

且.

所以.

（1）若，則由，得.

因此.

（2）若，假設(shè)都不在區(qū)間內(nèi)，

則由，知.

結(jié)合假設(shè)，得.

又由，知.

所以中存在比小的數(shù)，也存在比大的數(shù).

又，且都不在區(qū)間內(nèi).

因此，存在j∈{1，2，……，50}，使得.

此時，.

另一方面，，兩者矛盾.

所以中至少有一個在區(qū)間內(nèi).

由（1）（2）知，中至少有一個在區(qū)間內(nèi).

由的定義知，結(jié)論成立

解法二：首先用數(shù)學(xué)歸納法證明

對于任意正整數(shù)n，若實數(shù)滿足，

則存在的一個排列，

使得.

證明如下：（1）當(dāng)n=1時，結(jié)論顯然成立

（2）假設(shè)當(dāng)n=k時，結(jié)論成立，

則當(dāng)n=k+1時，由歸納假設(shè)知，存在的一個排列，

使得.

記，，

則.從而當(dāng)時：

；

當(dāng)時：

.

即當(dāng)n=k+1時，結(jié)論也成立.

由（1）（2）知，對于任意正整數(shù)n，結(jié)論都成立.

回到本題，利用上述結(jié)論容易知道存在的一個排列滿足，，

且.

又，

所以或.

因此結(jié)論成立.