Question

某同學(xué)對(duì)函數(shù)f（x）=

sinx

x

進(jìn)行研究后，得出以下五個(gè)結(jié)論：
①函數(shù)y=f（x）的圖象是軸對(duì)稱圖形；
②函數(shù)y=f（x）對(duì)任意定義域中x值，恒有|f（x）|＜1成立；
③函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸有無窮多個(gè)交點(diǎn)，且每相鄰兩交點(diǎn)間距離相等；
④對(duì)于任意常數(shù)N＞0，存在常數(shù)b＞a＞N，函數(shù)y=f（x）在[a，b]上單調(diào)遞減，且|b-a|≥1；
⑤當(dāng)常數(shù)k滿足k≠0時(shí)，函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=kx有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)．
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（　�。�

• A、①②③④
• B、①③④⑤
• C、①②④
• D、①③④

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的圖象,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)奇偶性的判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：①判定函數(shù)的奇偶性即可得到結(jié)論；
②利用y=sinx的有界性，即可判斷|f（x）|＜1成立；
③求出函數(shù)的零點(diǎn)，舉反例即可得到錯(cuò)誤，
④根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可進(jìn)行判定
⑤作出函數(shù)f（x）的簡(jiǎn)圖，利用數(shù)形結(jié)合即可判定．

解答：解：①函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≠0}，則f（-x）=

-sinx

-x

=

sinx

x

=f（x）是偶函數(shù)，關(guān)于y軸對(duì)稱，即函數(shù)y=f（x）的圖象是軸對(duì)稱圖形；故①正確．
②根據(jù)正弦值在單位圓中的定義可知，|sinx|＜|x|，即在x∈（0，1]時(shí)，有|

sinx

x

|＜1，
∵|sinx|≤1，∴在x＞1時(shí)，有|

sinx

x

|＜1，
又∵f（x）為偶函數(shù)，∴在其定義域內(nèi)有|

sinx

x

|＜1，故②正確；
③函數(shù)f（x）的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（kπ，0）（k≠0），∴交點(diǎn)（-π，0）與（π，0）的距離為2π，而其余任意相鄰兩點(diǎn)之間的距離為π，故③錯(cuò)誤；
④令h₁（x）=

1

x

，h₂（x）=sinx，兩函數(shù)在[2kπ+

π

2

，2kπ+

3π

2

]上均單調(diào)遞減，且均為正值，
∴f（x）在[2kπ+

π

2

，2kπ+

3π

2

]上單調(diào)遞減，對(duì)于任意常數(shù)N＞0，存在常數(shù)b＞a＞N，a，b∈[2kπ+

π

2

，2kπ+

3π

2

]，函數(shù)f（x）在[a，b]上單調(diào)遞減，且|b-a|≥1，故④正確；
⑤f（x）的大致圖象如圖所示，
y=kx與f（x）的圖象可能有2個(gè)交點(diǎn)，故⑤錯(cuò)誤．
故正確的為①②④，為3個(gè)，
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)性質(zhì)是判定，根據(jù)條件分別進(jìn)行判定證明即可，綜合性較強(qiáng)，難度較大．