Question

在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足（2c-a）cosB-bcosA=0．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）求

3

sinA+sin（C-

π

6

）的取值范圍．

Answer 1

考點：正弦定理,兩角和與差的正弦函數(shù)

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（Ⅰ）在△ABC中，由條件利用正弦定理、兩角和差的正弦公式可得 sinC（2cosB-1）=0，故有cosB=

1

2

，由此求得 B的值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得

3

sinA+sin（C-

π

6

）=2sin（A+

π

6

），根據(jù)A∈（0，

2π

3

），利用正弦函數(shù)的定義域和值域求得

3

sinA+sin（C-

π

6

）的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）在△ABC中，∵（2c-a）cosB-bcosA=0，∴2sinCcosB-sinAcosB-sinBcosA=0，
即2sinCcosB-sin（A+B）=0，
即sinC（2cosB-1）=0，
∴cosB=

1

2

，
∴B=

π

3

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得

3

sinA+sin（C-

π

6

）=

3

sinA+cosA=2sin（A+

π

6

），
∵A∈（0，

2π

3

），
∴A+

π

6

∈（

π

6

，

5π

6

），sin（A+

π

6

）∈（

1

2

，1]，
∴2sin（A+

π

6

）∈（1，2]，即

3

sinA+sin（C-

π

6

）的取值范圍是（1，2]．

點評：本題主要考查正弦定理、兩角和差的正弦公式，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．