【題目】已知f(x)=ln(mx+1)﹣2(m≠0).
(1)討論f(x)的單調(diào)性;
(2)若m>0,g(x)=f(x)+ 存在兩個極值點x1 , x2 , 且g(x1)+g(x2)<0,求m的取值范圍.
【答案】
(1)解:由已知得mx+1>0,f′(x)= ,
①若m>0時,由mx+1>0,得:x>﹣ ,恒有f′(x)>0,
∴f(x)在(﹣ ,+∞)遞增;
②若m<0,由mx+1>0,得:x<﹣ ,恒有f′(x)<0,
∴f(x)在(﹣∞,﹣ )遞減;
綜上,m>0時,f(x)在(﹣ ,+∞)遞增,
m<0時,f(x)在(﹣∞,﹣ )遞減
(2)解:g(x)=ln(mx+1)+ ﹣2,(m>0),
∴g′(x)= ,
令h(x)=mx2+4m﹣4,
m≥1時,h(x)≥0,g′(x)≥0,g(x)無極值點,
0<m<1時,令h(x)=0,得:x1=﹣2 或x2=2 ,
由g(x)的定義域可知x>﹣ 且x≠﹣2,
∴﹣2 >﹣ 且﹣2 ≠﹣2,解得:m≠ ,
∴x1,x2為g(x)的兩個極值點,
即x1=﹣2 ,x2=2 ,
且x1+x2=0,x1x2= ,得:
g(x1)+g(x2)=ln(mx1+1)+ ﹣2+ln(mx2+1)+ ﹣2
=ln(2m﹣1)2+ ﹣2,
令t=2m﹣1,F(xiàn)(t)=lnt2+ ﹣2,
∴F(t)=2ln(﹣t)+ ﹣2,
∴F′(t)= <0,
∴F(t)在(﹣1,0)遞減,F(xiàn)(t)<F(﹣1)<0,
即0<m< 時,g(x1)+g(x2)<0成立,符合題意;
② <m<1時,0<t<1,
∴F(t)=2lnt+ ﹣2,F(xiàn)′(t)= <0,
∴F(t)在(0,1)遞減,F(xiàn)(t)>F(1)=0,
∴ <m<1時,g(x1)+g(x2)>0,不合題意,
綜上,m∈(0, )
【解析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),通過討論m的范圍,確定函數(shù)的單調(diào)性;(2)求出g(x)的導(dǎo)數(shù),通過討論m的范圍,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,從而求出函數(shù)的最值,判斷是否符合題意,從而判斷出m的范圍即可.
【考點精析】掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)是解答本題的根本,需要知道一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減;求函數(shù)的極值的方法是:(1)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值(2)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線l的參數(shù)方程(t為參數(shù)),以坐標(biāo)原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C的極坐標(biāo)方程為:ρ=4cosθ.
(1)把直線l的參數(shù)方程化為極坐標(biāo)方程,把曲線C的極坐標(biāo)方程化為普通方程;
(2)求直線l與曲線C交點的極坐標(biāo)(ρ≥0,0≤θ<2π).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=2|x﹣1|+x﹣1,g(x)=16x2﹣8x+1.記f(x)≤1的解集為M,g(x)≤4的解集為N.
(1)求M;
(2)當(dāng)x∈M∩N時,證明:x2f(x)+x[f(x)]2≤ .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知{xn}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列,且x1+x2=3,x3﹣x2=2.(12分)
(Ⅰ)求數(shù)列{xn}的通項公式;
(Ⅱ)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,依次連接點P1(x1 , 1),P2(x2 , 2)…Pn+1(xn+1 , n+1)得到折線P1 P2…Pn+1 , 求由該折線與直線y=0,x=x1 , x=xn+1所圍成的區(qū)域的面積Tn .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知向量 , 的夾角為120°,且| |=2,| |=3,則向量2 +3 在向量2 + 方向上的投影為( )
A.
B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四邊形ABCD中,∠ABC= ,AB:BC=2:3, .
(1)求sin∠ACB的值;
(2)若 ,CD=1,求△ACD的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x(1﹣a|x|)+1(a>0),若f(x+a)≤f(x)對任意的x∈R恒成立,則實數(shù)a的取值范圍是 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校高一年級3個班有10名學(xué)生在全國英語能力大賽中獲獎,學(xué)生來源人數(shù)如表:
班別 | 高一(1)班 | 高一(2)班 | 高一(3)班 |
人數(shù) | 3 | 6 | 1 |
若要求從10位同學(xué)中選出兩位同學(xué)介紹學(xué)習(xí)經(jīng)驗,設(shè)其中來自高一(1)班的人數(shù)為ξ,求隨機(jī)變量ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望E(ξ).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某食品廠為了檢查甲、乙兩條自動包裝流水線的生產(chǎn)情況,隨機(jī)在這兩條流水線上各抽取40件產(chǎn)品作為樣本,并稱出它們的重量(單位:克),重量值落在[495,510)內(nèi)的產(chǎn)品為合格品,否則為不合格品.統(tǒng)計結(jié)果如下:
甲流水線樣本的頻數(shù)分布表
產(chǎn)品重量(克) | 頻數(shù) |
[490,495) | 6 |
[495,500) | 8 |
[500,505) | 14 |
[505,510) | 8 |
[510,515] | 4 |
乙流水線樣本的頻率分布直方圖
(1)求甲流水線樣本合格的頻率;
(2)由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)完成下面2×2列聯(lián)表,并回答有多大的把握認(rèn)為產(chǎn)品的包裝質(zhì)量與兩條自動包裝流水線的選擇有關(guān).
分類 | 甲流水線 | 乙流水線 | 總計 |
合格品 | |||
不合格品 | |||
總計 |
附:K2=.
P(K2≥k0) | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k0 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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