Question

已知曲線C：y=

x3

3

-4x+

2

3

（I）求在點M（1，-3）處曲線C的切線方程；
（Ⅱ）若過點N（1，n）作曲線C的切線有三條，求實數(shù)n的取值范圍．

Answer 1

（I）f'（x）=x²-4，f'（1）=-3，（2分）
∴曲線y=f（x）在M（1，-3）處的切線方程為y+3=-3（x-1），即3x+y=0（4分）
（II）過點N（1，n）向曲線y=f（x）作切線，設(shè)切點為（x₀，y₀）
則y₀=

1

3

x₀³-4x₀+

2

3

，k=f'（x₀）=x₀²-4．
則切線方程為y-（

1

3

x₀³-4x₀+

2

3

）=（x₀²-4）（x-x₀）（6分）
將N（1，n）代入上式，整理得2x₀³-3x₀²+10+3n=0．
∵過點N（1，n）可作曲線y=f（x）的三條切線
∴方程2x₀³-3x₀²+10+3n=0（*）有三個不同實數(shù)根、（8分）
記g（x）=2x₀³-3x₀²+10+3n，g'（x）=6x²-6x=6x（x-1），
令g'（x）=0，x=0或1、（10分）
則x，g'（x），g（x）的變化情況如下表

x	（-∞，0）	0	（0，1）	1	（1，+∞）
g'（x）	+	0	-	0	+
g（x）	遞增	極大	遞減	極小	遞增

當x=0，g（x）有極大值10+3n；x=1，g（x）有極小值9+3n，（12分）
由題意有，當且僅當

g(0)＞0 g(1)＜0

，即

10+3n＞0 9+3n＜0

，-

10

3

＜n＜-3時，
函數(shù)g（x）有三個不同零點、
此時過點N可作曲線y=f（x）的三條不同切線．故m的范圍是(-

10

3

，-3)（14分）