Question

【題目】已知函數(shù)，曲線在原點(diǎn)處的切線為.

（1）證明：曲線與軸正半軸有交點(diǎn)；

（2）設(shè)曲線與軸正半軸的交點(diǎn)為，曲線在點(diǎn)處的切線為直線，求證：曲線上的點(diǎn)都不在直線的上方；

（3）若關(guān)于的方程（為正實(shí)數(shù)）有不等實(shí)根，求證：.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析.

【解析】分析：（1）求得，由，解得，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在定理可得結(jié)果；（2）曲線在點(diǎn)處的切線，令，可證明對(duì)任意實(shí)數(shù)都有，即對(duì)任意實(shí)數(shù)都有，從而可得結(jié)論；（3）因?yàn)?/span>，所以為減函數(shù)，設(shè)方程的根為，由（2）可知，所以，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，構(gòu)造函數(shù)，可得，從而可得結(jié)論.

詳解：（1）求得，由已知得：，解得，

即，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，所以，存在，

使得，即曲線與軸正半軸有交點(diǎn)；

（2）曲線在點(diǎn)處的切線，令，則，又，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以對(duì)任意實(shí)數(shù)都有，即對(duì)任意實(shí)數(shù)都有，

故曲線上的點(diǎn)都不在直線的上方；

（3）因?yàn)?/span>，所以為減函數(shù)，設(shè)方程的根為，由（2）可知，

所以，

記，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，對(duì)任意的實(shí)數(shù)，都有，即，

設(shè)方程的根，則，所以，

于是，令，又，則，所以在上為增函數(shù)，又，所以，，所以.