Question

在等比數(shù)列{a_n}中，a₁=2，且a_n+1=a_n+2ⁿ．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項a_n；
（Ⅱ）數(shù)列{a_n}中是否存在這樣的兩項a_p，a_q（p＜q），使得a_p+a_q=2014？若存在，求符合條件的所有的p，q；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：等比數(shù)列的性質(zhì),數(shù)列遞推式

專題：計算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）利用疊加法，可求數(shù)列{a_n}的通項a_n；
（Ⅱ）利用反證法，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）∵a_n+1=a_n+2ⁿ，∴a_n+1-a_n=2ⁿ，
∴a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）=2+2¹+…+2^n-1=2+

2(1-2n-1)

1-2

=2ⁿ（n≥2），
∵a₁=2，
∴a_n=2ⁿ；
（Ⅱ）假設(shè)存在這樣的兩項a_p，a_q（p＜q），使得a_p+a_q=2014，則
當q＞p≥2時，a_p+a_q=2^p+2^q=2^p（1+2^q-p）是4的倍數(shù)，但2014不是4的倍數(shù)；
p=1時，2014=a_p+a_q=2¹+2^q，∴2^q=2012，q不存在，
∴不存在這樣的兩項a_p，a_q（p＜q），使得a_p+a_q=2014．

點評：本題考查數(shù)列的通項，考查疊加法、反證法，屬于中檔題．