Question

已知拋物線y²=2px（p＞0），過原點分別作斜率是k₁，k₂的直線，交拋物線于A，B兩點，直線AB與x軸的交點為M（x₀，0）
（1）若k₁•k₂=-2，直線AB是否過定點？同時求△AOB面積的最小值；
（2）若∠AOB=

π

3

，求x₀的最小值．

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由題意可設直線AB的方程為：my=x-x₀．與拋物線方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關系、利用斜率公式即可得出x₀，再利用弦長公式、點到直線的距離公式、三角形的面積計算公式即可得出；
（2）利用（1）的結論、斜率計算公式、兩角和的正切公式、一元二次方程的解法即可得出．

解答： 解：（1）由題意可設直線AB的方程為：my=x-x₀．
聯(lián)立

my=x-x0 y2=2px

，化為y²-2pmy-2px₀=0，
∴y₁+y₂=2pm，y₁y₂=-2px₀．
∵k1=

y1

x1

，k2=

y2

x2

，k₁k₂=-2．
∴

y1y2

x1x2

=-2．
∴y₁y₂=-2x₁x₂，
又x₁x₂=（my₁+x₀）（my₂+x₀）=m²y₁y₂+mx₀（y₁+y₂）+

x

2 0

=-2pm2x0+2pm2x0+

x

2 0

=

x

2 0

．
∴-2px0=-2

x

2 0

，
∵x₀≠0，∴x₀=p．
因此直線AB過定點M（p，0）．
∵|AB|=

(1+m2)[(y1+y2)2-4y1y2]

=

(1+m2)[4p2m2+8p2]

，
點O到直線AB的距離d=

p

1+m2

．
∴△AOB面積S=

1

2

|AB|•d=

1

2

×

(1+m2)(4p2m2+8p2)

×

p

1+m2

=p2

m2+2

≥

2

p2．
因此當m=0時，△AOB的面積取得最小值

2

p2．
（2）由（1）可得：y₁+y₂=2pm，y₁y₂=-2px₀．
∵k1=

y1

x1

=tan∠AOM，k2=

y2

x2

=tan[π-（

π

3

-∠AOM）]=tan（

2π

3

+∠AOM）=

- 3 +tan∠AOM

1+ 3 tan∠AOM

=

- 3 +k1

1+ 3 k1

，
∴k2+

3

k1k2=-

3

+k1．
∴

y2

x2

+

3 y1y2

x1x2

=-

3

+

y1

x1

，
化為y2x1+

3

y1y2=y1x2-

3

x1x2
又x₁x₂=（my₁+x₀）（my₂+x₀）=m²y₁y₂+mx₀（y₁+y₂）+

x

2 0

=-2pm2x0+2pm2x0+

x

2 0

=

x

2 0

．
y₂x₁=y₂（my₁+x₀）=my₁y₂+y₂x₀，y₁x₂=y₁（my₂+x₀）=my₁y₂+y₁x₀．
∴my₁y₂+x₀y₂+

3

y1y2=my₁y₂+y₁x₀-

3

x

2 0

．
∴x0y2-2

3

px0=y1x0-

3

x

2 0

，
∵x₀≠0，
∴

3

(x0-2p)=y1-y2．
當y₁＜y₂時，
∴3(x0-2p)2=(y1-y2)2=(y1+y2)2-4y1y2=4p²m²+8px₀．
化為3

x

2 0

-20px0+12p2-4p2m2=0，
解得x0=

20p±4p 3m2+16

6

=

10p±2p 3m2+16

3

≥

2p

3

∴x₀的最小值為

2p

3

．

點評：本題綜合考查了直線與拋物線相交問題轉化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關系、斜率公式、弦長公式、點到直線的距離公式、三角形的面積計算公式、兩角和的正切公式、一元二次方程的解法等基礎知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．