Question

設f（x）=|x-3|+|x-4|．
（Ⅰ）求函數g（x）=

2-f(x)

的定義域；
（Ⅱ）若存在實數，滿足f（x）≤mx+1．試求實數m的取值范圍．

Answer 1

考點：絕對值不等式的解法,函數的定義域及其求法

專題：不等式的解法及應用

分析：（Ⅰ）化簡函數f（x）的解析式，可得f（x）≤2，即|x-3|+|x-4|≤2，再根據絕對值的意義求得不等式的解集．
（Ⅱ）設g（x）=mx+1，如圖紅線所示，f（x）的圖象如圖藍線所示，由題意可得，故紅線必有一部分位于藍線的上方，故有m≥0，或 m＜-2，從而得到m的范圍．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=|x-3|+|x-4|=

2x-7  ，x＞4 1  ，3＜x≤4 7-2x ，x≤3

，對于函數g（x）=

2-f(x)

，2-f（x）≥0，
即f（x）≤2，|x-3|+|x-4|≤2．
根據絕對值的意義，|x-3|+|x-4|表示數軸上的x對應點到3、4對應點的距離之和，
而

5

2

 和

9

2

對應點到3、4對應點的距離之和正好等于2，故|x-3|+|x-4|≤2的解集為[

5

2

，

9

2

]．
（Ⅱ）設g（x）=mx+1，如圖紅線所示，f（x）的圖象如圖藍線所示，
∵存在實數，滿足f（x）≤mx+1，故紅線必有一部分位于藍線的上方，
故有m≥0，或 m＜-2，故m的范圍為（[0，+∞）∪（-∞，-2）．

點評：本題主要考查帶由絕對值的函數，絕對值的意義，絕對值不等式的解法，體現了轉化以及數形結合的數學思想，屬于中檔題．