【題目】已知函數.
(1)若函數有兩個極值點,求實數a的取值范圍;
(2)若對任意都恒成立,求證:a的最大值大于8.
【答案】(1);(2)證明見詳解.
【解析】
(1)將問題轉化為有兩個不同的實數根,分離參數,構造新的函數,利用導數研究函數單調性和值域,從而求參數范圍;
(2)將恒成立問題,經過分離參數后,轉化為函數最值的問題,從而進行證明.
(1)由
可得,
函數有兩個極值點等價于有兩個不同的實數根,
也等價于 有兩個不同的實數根(顯然不是根)
令,則,
在單減,上單減,上單增;
且時,,
時,,
有兩解,需,即,
下證是有兩解的必要條件:
當時,,,,
在上有且只有一個解,
又因為,.
在上有且只有一個解,
綜上所述:;
(2)因為等價于:
等價于對恒成立,
①當或1時,滿足;
②當時,顯然大于0,
故恒成立,
等價于恒成立,
等價于恒成立.
而欲證
即證即可.
就是證:
也就是證明:
,對任意的恒成立.
先證:,.
令,.
因為,
所以在上單調遞增,
則有,
,.
所以,要證,,
需證,,
即證恒成立
也就是證:恒成立
而顯然成立,
故恒成立
即恒成立
,對任意的恒成立.
成立
故成立,即證.
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【題目】已知函數f(x)=ln(x2+1)﹣e﹣|x|(e為自然對數的底數),則不等式f(2x+1)>f(x)的解集是( )
A. (﹣1,1)B. (﹣∞,﹣1)∪(1,+∞)
C. D.
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【題目】已知的定義域為,,使得不等式成立,關于的不等式的解集記為.
(1)若為真,求實數的取值集合;
(2)在(1)的條件下,若是的充分不必要條件,求實數的取值范圍.
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【題目】已知橢圓的左、右頂點為,,橢圓上任意一點,滿足,且橢圓過點.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)設是軌跡上的兩個動點,線段的中點在直線 (為參數)上,線段的中垂線與交于兩點,是否存在點,使以為直徑的圓經過點,若存在,求出點坐標,若不存在,請說明理由.
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【題目】在直角坐標系中,直線的參數方程為(為參數),以坐標原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為.
(1)寫出直線的直角坐標方程;
(2)設點的坐標為,若點是曲線截直線所得線段的中點,求的斜率.
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【題目】在直角坐標系中,直線的參數方程為(為參數),以坐標原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為.
(1)寫出直線的直角坐標方程;
(2)設點的坐標為,若點是曲線截直線所得線段的中點,求的斜率.
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【題目】某種產品的質量以其質量指標值衡量,并依據質量指標值劃分等級如表:
質量指標值m | 25≤m<35 | 15≤m<25或35≤m<45 | 0<m<15或45≤m≤65 |
等級 | 一等品 | 二等品 | 三等品 |
某企業(yè)從生產的這種產品中抽取100件產品作為樣本,檢測其質量指標值,得到如圖所示的頻率分布直方圖.(同一組數據用該區(qū)間的中點值作代表):
(1)根據以上抽樣調查數據,能否認為該企業(yè)生產的這種產品符合“一、二等品至少要占全部產品82%”的規(guī)定?
(2)該企業(yè)為提高產品質量,開展了“質量提升月”活動,活動后再抽樣檢測,產品質量指標值X近似滿足X~N(31,122),則“質量提升月”活動后的質量指標值的均值比活動前大約提升或降低多少?
(3)若企業(yè)每件一等品售價180元,每件二等品售價150元,每件三等品售價120元,以樣本中的頻率代替相應概率,現有一名顧客隨機購買兩件產品,設其支付的費用為X(單位:元),求X的分布列及數學期望.
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【題目】下列有關命題的說法正確的是( )
A.命題“若⊥,則0”的否命題為“若⊥,則0”
B.命題“函數f(x)=(a﹣1)x是R上的增函數”的否定是“函數f(x)=(a﹣1)x是R上的減函數”
C.命題“在△ABC中,若sinA=sinB,則A=B”的逆否命題為真命題
D.命題“若x=2,則x2﹣3x+2=0”的逆命題為真命題
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【題目】某公司為了變廢為寶,節(jié)約資源,新上了一個從生活垃圾中提煉生物柴油的項目.經測算該項目月處理成本(元)與月處理量(噸)之間的函數關系可以近似地表示為:
,且每處理一噸生活垃圾,可得到能利用的生物柴油價值為200元,若該項目不獲利,政府將給予補貼.
(1)當時,判斷該項目能否獲利?如果獲利,求出最大利潤;如果不獲利,則政府每月至少需要補貼多少元才能使該項目不虧損?
(2)該項目每月處理量為多少噸時,才能使每噸的平均處理成本最低?
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