Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足條件f（x+

3

2

）=-f（x），且函數(shù)y=f（x-

3

4

）為奇函數(shù)，給出以下四個(gè)命題：
①函數(shù)f（x）的最小正周期是

3

2

；
②函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（-

3

4

，0）對(duì)稱；
③函數(shù)f（x）為R上的偶函數(shù)；
④函數(shù)f（x）為R上的單調(diào)函數(shù)．
其中真命題的個(gè)數(shù)是（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的周期性,抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由“f（x+

3

2

）=-f（x）”可得周期為3，由“且函數(shù)y=f（x-

3

4

）為奇函數(shù)”可得y=f（x）的對(duì)稱性，然后兩者結(jié)合以及利用代數(shù)變換或圖象變換對(duì)四個(gè)選項(xiàng)做出判斷．

解答： 解：∵對(duì)任意的x∈R，函數(shù)f（x）滿足條件f（x+

3

2

）=-f（x），∴f（x+3）=f（x+

3

2

+

3

2

）=-f（x+

3

2

）=f（x），∴f（x）的最小正周期是3，故①④是假命題；
∵函數(shù)y=f（x-

3

4

）為奇函數(shù)，∴y=f（x-

3

4

）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，將y=f（x-

3

4

）的圖象向左平移

3

4

個(gè)單位得y=f（x）的圖象，∴函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于（-

3

4

，0）對(duì)稱，故②是真命題；
∵y=f（x-

3

4

）為奇函數(shù)，∴f(-x-

3

4

)=-f(x-

3

4

)，令t=x-

3

4

，代入上式得f（-t-

3

2

）=-f（t），即f（-x-

3

2

）=-f（x），結(jié)合f（x+

3

2

）=-f（x），∴f（-x-

3

2

）=-f（x+

3

2

），再令y=x+

3

2

，則由上式得f（-y）=f（y）恒成立，所以y=f（x）是偶函數(shù)，故③是真命題．所以，真命題共兩個(gè)．
故選B

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了抽象函數(shù)的奇偶性、周期性，因?yàn)闆](méi)有具體的解析式，所以準(zhǔn)確理解每個(gè)關(guān)系式的意義是解題關(guān)鍵，能結(jié)合圖象理解的盡量結(jié)合圖象，使問(wèn)題直觀化，具體化．