【題目】f(x)的定義域?yàn)镽,對(duì)任意x,y∈R,有f(x+y)=f(x)+f(y),且當(dāng)x>0時(shí),f(x)<0,f(1)=-2.
(1)證明:f(x)是奇函數(shù);
(2)證明:f(x)在R上是減函數(shù);
(3)求f(x)在區(qū)間[-3,3]上的最大值和最小值.
【答案】見解析
【解析】(1)函數(shù)f(x)的定義域R關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,又由f(x+y)=f(x)+f(y),
得f[x+(-x)]=f(x)+f(-x),
∴f(x)+f(-x)=f(0).
又f(0+0)=f(0)+f(0),
∴f(0)=0.從而有f(x)+f(-x)=0,
∴f(-x)=-f(x).由于x∈R,
∴f(x)是奇函數(shù).
(2)任取x1,x2∈R,且x1<x2,則
f(x1)-f(x2)=f(x1)-f[x1+(x2-x1)]=f(x1)-[f(x1)+f(x2-x1)]=-f(x2-x1).
∵x1<x2,∴x2-x1>0.
∴f(x2-x1)<0.
∴-f(x2-x1)>0,即f(x1)>f(x2),從而f(x)在R上是減函數(shù).
(3)由于f(x)在R上是減函數(shù),故f(x)在[-3,3]上的最大值是f(-3),最小值是f(3),由f(1)=-2,得
f(3)=f(1+2)=f(1)+f(2)=f(1)+f(1+1)=f(1)+f(1)+f(1)=-6,
f(-3)=-f(3)=6.從而f(x)在區(qū)間[-3,3]上的最大值是6,最小值是-6.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】若{an}是等比數(shù)列,其公比是q,且﹣a5 , a4 , a6成等差數(shù)列,則q等于( )
A.1或2
B.1或﹣2
C.﹣1或 2
D.﹣1或﹣2
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)全集U={n∈N|1≤n≤10},A={1,2,3,5,8},B={1,3,5,7,9},則(UA)∩B= .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某產(chǎn)品共有三個(gè)等級(jí),分別為一等品、二等品和不合格品.從一箱產(chǎn)品中隨機(jī)抽取1件進(jìn)行檢測(cè),設(shè)“抽到一等品”的概率為0.65,“抽到二等品”的概率為0.3,則“抽到不合格品”的概率為( 。
A.0.95
B.0.7
C.0.35
D.0.05
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為了了解某種輪胎的性能,隨機(jī)抽取了8個(gè)進(jìn)行測(cè)試,其最遠(yuǎn)里程數(shù)分別(單位:1000km)為:
96, 112, 97, 108, 99, 104, 86, 98,則它們的中位數(shù)是( )
A. 100 B. 99 C. 98.5 D. 98
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列命題正確的是( )
A. 若一直線與兩個(gè)平面所成角相等,則這兩個(gè)平面平行
B. 若一條直線平行于兩個(gè)相交平面,則這條直線與這兩個(gè)平面的交線平行
C. 若兩個(gè)平面垂直于同一個(gè)平面,則這兩個(gè)平面平行
D. 若兩條直線和同一個(gè)平面平行,則這兩條直線平行
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某產(chǎn)品共有三個(gè)等級(jí),分別為一等品、二等品和不合格品.從一箱產(chǎn)品中隨機(jī)抽取1件進(jìn)行檢測(cè),設(shè)“抽到一等品”的概率為0.65,“抽到二等品”的概率為0.3,則“抽到不合格品”的概率為( )
A. 0.95 B. 0.7 C. 0.35 D. 0.05
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列命題中,正確命題的個(gè)數(shù)是( )
①若x,y∈C,則x+yi=1+i的充要條件是x=y(tǒng)=1;
②若a,b∈R且a>b,則a+i>b+i;
③若x2+y2=0,則x=y(tǒng)=0.
A.0 B.1 C.2 D.3
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】過(guò)點(diǎn)(3,1)作圓(x﹣1)2+y2=1的兩條切線,切點(diǎn)分別為A,B,則直線AB的方程為( )
A.2x+y﹣3=0
B.2x﹣y﹣3=0
C.4x﹣y﹣3=0
D.4x+y﹣3=0
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