如圖1,在邊長為
的正三角形
中,
,
,
分別為
,
,
上的點,且滿足
.將△
沿
折起到△
的位置,使二面角
成直二面角,連結
,
.(如圖2)
(Ⅰ)求證:
⊥平面
;
(Ⅱ)求直線
與平面
所成角的大小.
(Ⅰ)證明見解析;(Ⅱ)
.
(I)在平面圖形中證明
,
即可.
(2)可以采用空間向量法求解,求出平面
的法向量
,那么
與
的夾角(銳角)與所求線面角互余.
(Ⅰ)證明:取
中點
,連結
因為
,
,
所以
,而
,即△
是正三角形.又因為
, 所以
.所以在圖2中有
,
.
所以
為二面角
的平面角.
又二面角
為直二面角, 所以
.
又因為
, 所以
⊥平面
,即
⊥平面
.
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)可知
⊥平面
,
,如圖,以
為原點,建立空間直角坐標系
,
則
,
,
,
.
在圖1中,連結
.因為
,
所以
∥
,且
.所以四邊形
為平行四邊形.
所以
∥
,且
.
故點
的坐標為(1,
,0).圖2
所以
,
,
不妨設平面
的法向量
,則
即
令
,得
.
所以
故直線
與平面
所成角的大小為
.
練習冊系列答案
相關習題
科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
(本題共10分)
將兩塊三角板按圖甲方式拼好,其中
,
,
,
,現(xiàn)將三角板
沿
折起,使
在平面
上的射影恰好在
上,如圖乙.
(Ⅰ)求證:
平面
;
(Ⅱ)求二面角
的余弦值;
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
(本小題滿分14分)
如圖,在四棱錐
中,底面
是正方形,其他四個側面都是等邊三角形,
與
的交點為
,
為側棱
上一點.
(Ⅰ)當E為側棱SC的中點時,求證:SA∥平面BDE;
(Ⅱ)求證:平面BDE⊥平面SAC
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:單選題
若直線a∥平面a,直線b⊥直線a,則直線b與平面a的位置關系是( )
A.b∥a | B.bÌa | C.b與a相交 | D.以上均有可能 |
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:單選題
設
是不同的直線,
是不同的平面,則下列結論錯誤的是( )
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:單選題
是空間三條不同的直線,則下列命題正確的是( )
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
(本題滿分14分)
如圖,在四棱錐
中,底面
為矩形,平面
⊥平面
,
,
,
為
的中點,
求證:(1)
∥平面
;(2)平面
平面
.
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