Question

【題目】函數是實數集上的奇函數, 當時， .

（1）求的值；

（2）求函數的表達式；

（3）求證：方程在區(qū)間(0，＋∞)上有唯一解．

Answer 1

【答案】（1）2（2）f(x)＝（3）見解析

【解析】

試題

（1）由題函數 是實數集 上的奇函數．所以 ．則易求

（2）由題函數 是當上的奇函數 ；

又當 時， ，所以 所以－f(x)＝log2(－x)－x－3，從而f(x)＝－log2(－x)＋x＋3．

所以

（3）因為 ，所以方程 在區(qū)間 上有解

又方程 可化為 設函數 以下證明方程 在區(qū)間上只有一個解即可．

試題解析（1）函數f(x)是實數集R上的奇函數．

所以f(－1)＝－f(1)．

因為當x＞0時，f(x)＝log2x＋x－3，所以f(1)＝log21＋1－3＝－2．

所以f(－1)＝－f(1)＝2．

（2）當x＝0時，f(0)＝f(－0)＝－f(0)，解得f(0)＝0；

當x＜0時，－x＞0，所以f(－x)＝log2(－x)＋(－x)－3＝log2(－x)－x－3．

所以－f(x)＝log2(－x)－x－3，從而f(x)＝－log2(－x)＋x＋3．

所以f(x)＝

（3）因為f(2)＝log22＋2－3＝0，所以

方程f(x)＝0在區(qū)間(0，＋∞)上有解x＝2．

又方程f(x)＝0可化為log2x＝3－x．

設函數g(x)＝log2x，h(x)＝3－x．

由于g(x)在區(qū)間(0，＋∞)上是單調增函數

h(x)在區(qū)間(0，＋∞)上是單調減函數，

所以，方程g(x)＝h(x) 在區(qū)間(0，＋∞)上只有一個解．

所以，方程f(x)＝0在區(qū)間(0，＋∞)上有唯一解．