【題目】已知各項(xiàng)均為正整數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,滿足:Sn﹣1+kan=tan2﹣1,n≥2,n∈N*(其中k,t為常數(shù)).
(1)若k=,t=,數(shù)列{an}是等差數(shù)列,求a1的值;
(2)若數(shù)列{an}是等比數(shù)列,求證:k<t.
【答案】(1)a1=1+,(2)見解析
【解析】
(1)由k=,t=,可得(n≥2),設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,分別令n=2,n=3,利用等差數(shù)列的性質(zhì)即可得出.
(2)令公比為q>0,則an+1=anq,利用遞推關(guān)系可得1=(q﹣1)[tan(q+1)﹣k],易知q≠1,從而可得t=0,從而證明.
(1)∵k=,t=,∴(n≥2),設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,
令n=2,則,令n=3,則,
兩式相減可得:,∵an>0,∴a3﹣a2=2=d.
由,且d=2,化為﹣4=0,a1>0.
解得a1=1+.
(2)∵Sn﹣1+kan=tan2﹣1①,n≥2,n∈N*,所以Sn+kan+1=﹣1②,
②-①得an+kan+1﹣kan=﹣,∴an=(an+1﹣an)[t(an+1+an)﹣k],
令公比為q>0,則an+1=anq,∴(q﹣1)k+1=tan(q2﹣1),
∴1=(q﹣1)[tan(q+1)﹣k];∵對任意n≥2,n∈N*,
1=(q﹣1)[tan(q+1)﹣k]成立;∴q≠1,∴an不是一個(gè)常數(shù);
∴t=0,∴Sn﹣1+kan=﹣1,且{an}是各項(xiàng)均為正整數(shù)的數(shù)列,∴k<0,
故k<t.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(12分)已知等差數(shù)列{an}中,a1=1,a3=﹣3.
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【題目】過拋物線的焦點(diǎn)且斜率為1的直線交拋物線于,兩點(diǎn),且.
(Ⅰ)求拋物線的方程;
(Ⅱ)拋物線上一點(diǎn),直線(其中)與拋物線交于,兩個(gè)不同的點(diǎn)(,均不與點(diǎn)重合).設(shè)直線,的斜率分別為,,.直線是否過定點(diǎn)?如果是,請求出所有定點(diǎn);如果不是,請說明理由.
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【題目】橢圓中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O,對稱軸為坐標(biāo)軸,且過M(2, ) ,N(,1)兩點(diǎn),
(I)求橢圓的方程;
(II)是否存在圓心在原點(diǎn)的圓,使得該圓的任意一條切線與橢圓C恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且?若存在,寫出該圓的方程,并求|AB |的取值范圍,若不存在說明理由。
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【題目】意大利數(shù)學(xué)家列昂納多·斐波那契是第一個(gè)研究了印度和阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)理論的歐洲人,斐波那契數(shù)列被譽(yù)為是最美的數(shù)列,斐波那契數(shù)列滿足:,,.若將數(shù)列的每一項(xiàng)按照下圖方法放進(jìn)格子里,每一小格子的邊長為1,記前項(xiàng)所占的格子的面積之和為,每段螺旋線與其所在的正方形所圍成的扇形面積為,則下列結(jié)論正確的是( )
A.B.
C.D.
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【題目】已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為,離心率為,是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),且面積的最大值為.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)直線斜率為,且與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為,是否存在點(diǎn),使得若存在,求的取值范圍;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在三棱錐中,底面ABC,點(diǎn)D,E分別為棱PA,PC的中點(diǎn),M是線段AD的中點(diǎn),N是線段BC的中點(diǎn),,.
Ⅰ求證:平面BDE;
Ⅱ求直線MN到平面BDE的距離;
Ⅲ求二面角的大小.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知直線與拋物線:交于,兩點(diǎn),且的面積為16(為坐標(biāo)原點(diǎn)).
(1)求的方程.
(2)直線經(jīng)過的焦點(diǎn)且不與軸垂直,與交于,兩點(diǎn),若線段的垂直平分線與軸交于點(diǎn),試問在軸上是否存在點(diǎn),使為定值?若存在,求該定值及的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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