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【題目】已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，離心率為，它的一個頂點恰好是拋物線的焦點．

（1）求橢圓的方程；

（2）直線與橢圓交于兩點，點位于第一象限，是橢圓上位于直線兩側的動點．

（i）若直線的斜率為，求四邊形面積的最大值；

（ii）當點運動時，滿足，問直線的斜率是否為定值，請說明理由．

【答案】（I）；（Ⅱ）（i）；（ii）的斜率為定值.

【解析】

試題（I）設橢圓的方程為，由條件利用橢圓的性質求得和的值，可得橢圓的方程．

（II）（i）設的方程為，代入橢圓的方程化簡，由△＞0，求得的范圍，再利用利用韋達定理可得以及的值．再求得的坐標，根據四邊形的面積，計算求得結果．

（ii）當時，C、的斜率之和等于零，的方程為，把它代入橢圓的方程化簡求得．再把直線的方程橢圓的方程化簡求得的值，可得以及的值，從而求得的斜率的值．

試題解析：設橢圓的方程為，由題意可得它的一個頂點恰好是拋物線的焦點，．

再根據離心率，求得，∴橢圓C的方程為．

（Ⅱ）（i）設，的方程為，代入橢圓的方程化簡可得，由，求得．

利用韋達定理可得，．

在中，令求得，∴四邊形的面積

，

故當時，四邊形的面積取得最小值為4．

（ii）當時，、的斜率之和等于零，設的斜率為，則的斜率為，

的方程為，把它代入橢圓的方程化簡可得

，所以．

同理可得直線的方程為，

，

的斜率．

練習冊系列答案
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【題目】《九章算術》中“竹九節(jié)”問題：現有一根9節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數列，上面4節(jié)的容積共3升，下面3節(jié)的容積共4升，則第6節(jié)的容積為（ ）

A. B. C. D.

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【題目】已知點A（﹣2，0），B（0，1）在橢圓C： （a＞b＞0）上．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）P是線段AB上的點，直線y= x+m（m≥0）交橢圓C于M、N兩點，若△MNP是斜邊長為 的直角三角形，求直線MN的方程．

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【題目】在銳角△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，若A滿足2cos2A+cos（2A+ ）=﹣ ．
（Ⅰ）求A的值；
（Ⅱ）若c=3，△ABC的面積為3 ，求a的值．

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【題目】定義在R上的函數y=f（x）為減函數，且函數y=f（x﹣1）的圖象關于點（1，0）對稱，若f（x2﹣2x）+f（2b﹣b2）≤0，且0≤x≤2，則x﹣b的取值范圍是（ ）
A.[﹣2，0]
B.[﹣2，2]
C.[0，2]
D.[0，4]

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【題目】學校某文具商店經營某種文具，商店每銷售一件該文具可獲利3元，若供大于求則削價處理，每處理一件文具虧損1元；若供不應求，則可以從外部調劑供應，此時每件文具僅獲利2元．為了了解市場需求的情況，經銷商統(tǒng)計了去年一年（52周）的銷售情況．

銷售量（件）

10

11

12

13

14

15

16

周數

2

4

8

13

13

8

4

以去年每周的銷售量的頻率為今年每周市場需求量的概率．
（1）要使進貨量不超過市場需求量的概率大于0.5，問進貨量的最大值是多少？
（2）如果今年的周進貨量為14，寫出周利潤Y的分布列；
（3）如果以周利潤的期望值為考慮問題的依據，今年的周進貨量定為多少合適？

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【題目】已知橢圓：，離心率為，并過點.

(1)求橢圓方程；

(2)若直線與橢圓相交于兩點（不是左右頂點），且以為直徑的圓過橢圓的右頂點。求證：直線過定點，并求出該定點的坐標.

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【題目】矩形的兩條對角線相交于點， 邊所在直線的方程為，點在邊所在直線上．

（Ⅰ）求邊所在直線的方程；

（Ⅱ）求矩形外接圓的方程；

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【題目】定義為n個正數的“均倒數”．已知正項數列{an}的前n項的“均倒數”為．

（1）求數列{an}的通項公式．

（2）設數列的前n項和為，若4<對一切恒成立試求實數m的取值范圍．

(3)令，問：是否存在正整數k使得對一切恒成立，如存在求出k值，否則說明理由．

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