Question

已知函數(shù)f（x）=e^x-x（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．
（1）求f（x）的最小值；
（2）設(shè)不等式f（x）＞ax的解集為P，若M={x|

1

2

≤x≤2}，且M∩P≠∅，求實(shí)數(shù)a的取值范圍
（3）已知n∈N^*，且S_n=

∫

n 0

f(x)dx，是否存在等差數(shù)列{a_n}和首項(xiàng)為f（1）公比大于0的等比數(shù)列{b_n}，使得S_n=A_n+B_n（其中A_n，B_n分別是數(shù)列{a_n}，{b_n}的前n項(xiàng)和）？若存在，請(qǐng)求出數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式．若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用,定積分,數(shù)列的求和

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，解得導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，由函數(shù)零點(diǎn)對(duì)定義域分段，利用函數(shù)在各區(qū)間段內(nèi)的符號(hào)判斷原函數(shù)的單調(diào)性從而求得函數(shù)的極小值，也就是最小值；
（2）由M∩P≠∅，可知不等式f（x）＞ax在區(qū)間[

1

2

，2]上有解．代入f（x）的解析式后轉(zhuǎn)化為a＜

ex

x

-1在區(qū)間[

1

2

，2]上有解，構(gòu)造函數(shù)g（x）=

ex

x

-1，x∈[

1

2

，2]．由導(dǎo)數(shù)求其最大值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍可求；
（3）設(shè)存在公差為d的等差數(shù)列{a_n}和首項(xiàng)為f（1）、公比q＞0的等比數(shù)列{b_n}，使得S_n=A_n+B_n，由定積分求得S_n，再由S_n=A_n+B_n，分別取n=1，2，3求出等差數(shù)列的公差和等比數(shù)列的公比，得到等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，驗(yàn)證后得答案．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=e^x-x，則f′（x）=e^x-1，
由f′（x）=0，得x=0．
當(dāng)x＞0時(shí)，f′（x）＞0，
當(dāng)x＜0時(shí)，f′（x）＜0，
∴f（x）在（-∞，0）上遞減，在（0，+∞）上遞增．
∴f（x）_min=f（0）=1；
（2）∵M={x|

1

2

≤x≤2}，且M∩P≠∅，
∴不等式f（x）＞ax在區(qū)間[

1

2

，2]上有解．
由f（x）＞ax，得e^x-x＞ax，
即a＜

ex

x

-1在區(qū)間[

1

2

，2]上有解．
令g（x）=

ex

x

-1，x∈[

1

2

，2]．
∵g′(x)=

(x-1)ex

x2

，
∴當(dāng)x∈(

1

2

，1)時(shí)，g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（1，2）時(shí)，g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增．
又g(

1

2

)=2

e

-1，g(2)=

e2

2

-1，且g（2）＞g（

1

2

），
∴g(x)max=g(2)=

e2

2

-1．
∴a＜

e2

2

-1；
（3）設(shè)存在公差為d的等差數(shù)列{a_n}和首項(xiàng)為f（1）、公比q＞0的等比數(shù)列{b_n}，使得S_n=A_n+B_n，
∵S_n=

∫

n 0

f(x)dx=

∫

n 0

(ex-x)dx=(ex-

1

2

x2+c

)|

n 0

=en-

1

2

n2-1．
b₁=f（1）=e-1，
由a₁+b₁=S₁，即a1+e-1=e-

3

2

，得a1=-

1

2

．
由n≥2時(shí)，an+bn=Sn-Sn-1=en-1(e-1)-n+

1

2

．
分別取n=2，3得：-

1

2

+d+(e-1)q=e(e-1)-

3

2

  ①
-

1

2

+2d+(e-1)q2=e2(e-1)-

5

2

  ②
②-①×2得，q²-2q=e²-2e，解得：q=e或q=2-e（舍）．
故q=e，d=-1．
此時(shí)an=-

1

2

+(n-1)(-1)=

1

2

-n；
bn=(e-1)•en-1，且an+bn=(e-1)en-1+

1

2

-n，滿足S_n=A_n+B_n．
∴存在滿足條件的數(shù)列{a_n}，{b_n}使得S_n=A_n+B_n．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，對(duì)于（2）的求解，把a＜

ex

x

-1在區(qū)間[

1

2

，2]上有解轉(zhuǎn)化為a小于函數(shù)g（x）=

ex

x

-1，x∈[

1

2

，2]的最小值是關(guān)鍵．訓(xùn)練了數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，屬綜合性較強(qiáng)的題目．