Question

已知函數(shù)f（x）=aln（2x+1）+bx+1．
（Ⅰ）若函數(shù)y=f（x）在x=1處取得極值，且曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線與直線2x+y-3=0平行，求a的值；
（Ⅱ）若b=

1

2

，試討論函數(shù)y=f（x）的單調(diào)性．
（Ⅲ）若對(duì)定義域內(nèi)的任意x，都有f(x)≥(b-

1

2

)x+

3

4

成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（I）先求函數(shù)的定義域，然后求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義和極值的定義建立方程組

f′(1)=0 f′(0)=-2

，解之即可；
（II）討論a的正負(fù)，然后在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）由f(x)≥(b-

1

2

)x+

3

4

，可得aln(2x+1)+

1

2

x+

1

4

≥0，令g(x)=aln(2x+1)+

1

2

x+

1

4

，則g′(x)=

2x+4a+1

4x+2

=f'（x）（b=

1

2

時(shí)），從而可得g（x）與f（x）（b=

1

2

時(shí)）具有相同的單調(diào)性，分類討論，即可求a的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)?span id="hb4alpi" class="MathJye">(-

1

2

，+∞)，f′(x)=

2bx+2a+b

2x+1

，
由題意

f′(1)=0 f′(0)=-2

，解得

a=- 3 2 b=1

∴a=-

3

2

．----------------（4分）
（Ⅱ）若b=

1

2

，則f(x)=aln(2x+1)+

1

2

x+1，f′(x)=

2x+4a+1

4x+2

．---------------（5分）
（1）當(dāng)a≥0時(shí)，由函數(shù)定義域可知，4x+2＞0，f′(x)=

2x+4a+1

4x+2

＞0，
∴在x∈(-

1

2

，+∞)內(nèi)，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；---------------（7分）
（2）當(dāng)a＜0時(shí)，令f′(x)=

2x+4a+1

4x+2

＞0，∴x∈(-2a-

1

2

，+∞)，
∴函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；
令f′(x)=

2x+4a+1

4x+2

＜0⇒x∈(-

1

2

，-2a-

1

2

)，
∴函數(shù)f（x）單調(diào)遞減
綜上：當(dāng)a≥0時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間(-

1

2

，+∞)為增函數(shù)；當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間(-2a-

1

2

，+∞)為增函數(shù)；
在區(qū)間(-

1

2

，-2a-

1

2

)為減函數(shù)．-------------（10分）
（Ⅲ）由f(x)≥(b-

1

2

)x+

3

4

，可得aln(2x+1)+

1

2

x+

1

4

≥0
令g(x)=aln(2x+1)+

1

2

x+

1

4

，則g′(x)=

2x+4a+1

4x+2

=f'（x）（b=

1

2

時(shí)）
∴g（x）與f（x）（b=

1

2

時(shí)）具有相同的單調(diào)性，
由（Ⅱ）知，當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)g（x）在區(qū)間(-

1

2

，+∞)為增函數(shù)；其值域?yàn)镽，不符合題意
當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)g（x）=

1

2

x+

1

4

，
∵x＞-

1

2

，∴g（x）＞0恒成立，符合題意
當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)g（x）在區(qū)間(-

1

2

，-2a-

1

2

)為減函數(shù)；在區(qū)間(-2a-

1

2

，+∞)為增函數(shù)
∴g（x）的最小值為g(-2a-

1

2

)=aln（-4a-1+1）+（-a-

1

4

）+

1

4

=aln（-4a）-a
∴aln（-4a）-a≥0⇒-

e

4

≤a＜0
綜上可知：-

e

4

≤a≤0．-------------（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，以及研究函數(shù)單調(diào)區(qū)間等有關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．