【題目】在平面直角坐標系中,如圖所示,已知橢圓的左、右頂點分別為,,右焦點為.設(shè)過點的直線,與此橢圓分別交于點,,其中,,.
(1)設(shè)動點滿足:,求點的軌跡;
(2)設(shè),,求點的坐標;
(3)設(shè),求證:直線必過軸上的一定點(其坐標與無關(guān)),并求出該定點的坐標.
【答案】(1) 的軌跡為直線. (2) (3) 直線必過軸上一定點.
【解析】
(1)根據(jù)橢圓的標準方程可得、、的坐標,設(shè)動點.根據(jù)條件,結(jié)合兩點間距離公式,化簡即可得解.
(2)根據(jù),代入橢圓方程即可求得、的坐標.進而求得直線與直線的方程.聯(lián)立兩條直線方程即可求得交點的坐標.
(3)設(shè)出直線與直線的方程,分別聯(lián)立橢圓方程即可表示出、的坐標.討論與,并分別求得的值.即可求得所過定點的坐標.
(1)由題設(shè)得,,,,設(shè)動點,
由,,,
代入化簡得.
故點的軌跡為直線
(2)由,,得,則點,
直線的方程為,
由,,得,則點.
直線的方程為,
由.解方程組可得
即
(3)由題設(shè)知,直線的方程為:,直線的方程為:,
點滿足,,;
點滿足,,;
若,且,得,
此時直線的方程為,過點;
若,則,直線的斜率,
直線的斜率,
所以,所以直線過點.
因此直線必過軸上一定點.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某城市的公交公司為了方便市民出行,科學規(guī)劃車輛投放,在一個人員密集流動地段增設(shè)一個起點站,為了研究車輛發(fā)車間隔時間x與乘客等候人數(shù)y之間的關(guān)系,經(jīng)過調(diào)查得到如下數(shù)據(jù):
調(diào)查小組先從這6組數(shù)據(jù)中選取4組數(shù)據(jù)求線性回歸方程,再用剩下的2組數(shù)據(jù)進行檢驗.檢驗方法如下:先用求得的線性回歸方程計算間隔時間對應(yīng)的等候人數(shù),再求與實際等候人數(shù)y的差,若差值的絕對值不超過1,則稱所求方程是“恰當回歸方程”.
(1)若選取的是后面4組數(shù)據(jù),求y關(guān)于x的線性回歸方程,并判斷此方程是否是“恰當回歸方程”;
(2)為了使等候的乘客不超過35人,試用(1)中方程估計間隔時間最多可以設(shè)置為多少(精確到整數(shù))分鐘?
附:對于一組數(shù)據(jù)(x1,y1),(x2,y2),……,(xn,yn),其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為:
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的中心在坐標原點,離心率等于,它的一個長軸端點恰好是拋物線的焦點.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)已知、()是橢圓上的兩點,是橢圓上位于直線兩側(cè)的動點,且直線的斜率為.
①求四邊形APBQ的面積的最大值;
②求證:.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】(2014·長春模擬)對甲、乙兩名自行車賽手在相同條件下進行了6次測試,測得他們的最大速度(m/s)的數(shù)據(jù)如下表:
甲 | 27 | 38 | 30 | 37 | 35 | 31 |
乙 | 33 | 29 | 38 | 34 | 28 | 36 |
(1)畫出莖葉圖.
(2)分別求出甲、乙兩名自行車賽手最大速度(m/s)數(shù)據(jù)的平均數(shù)、方差,并判斷選誰參加比賽更合適?
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】國際奧委會將于2017年9月15日在秘魯利馬召開130次會議決定2024年第33屆奧運會舉辦地。目前德國漢堡、美國波士頓等申辦城市因市民擔心賽事費用超支而相繼退出。某機構(gòu)為調(diào)查我國公民對申辦奧運會的態(tài)度,選了某小區(qū)的100位居民調(diào)查結(jié)果統(tǒng)計如下:
(1)根據(jù)已有數(shù)據(jù),把表格數(shù)據(jù)填寫完整;
(2)能否在犯錯誤的概率不超過5%的前提下認為不同年齡與支持申辦奧運無關(guān)?
(3)已知在被調(diào)查的年齡大于50歲的支持者中有5名女性,其中2位是女教師,現(xiàn)從這5名女性中隨機抽取3人,求至多有1位教師的概率.
附: , .
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在如圖所示的幾何體中,四邊形CDEF為正方形,四邊形ABCD為梯形,,,,平面ABCD.
求BE與平面EAC所成角的正弦值;
線段BE上是否存在點M,使平面平面DFM?若存在,求的值;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù),,,若對任意成立,且數(shù)列滿足:,.
(1)求函數(shù)的解析式;
(2)求證:;
(3)求證:.
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