Question

已知函數y=ax²+2x+1，當x∈[1，2]，總有y∈[1，4]則a的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點：二次函數的性質

專題：函數的性質及應用,導數的綜合應用

分析：根據已知條件便有1≤ax²+2x+1≤4在x∈[1，2]上恒成立，從而a≤

-2x+3

x2

，且a≥

-2

x

恒成立，所以通過求導，判斷出函數

-2x+3

x2

和

-2

x

在[1，2]上的單調性，根據單調性分別求這兩個函數的最小值，最大值即可得出a的取值范圍．

解答： 解：：∵y∈[1，4]
∴1≤ax²+2x+1≤4
 從而得到a≤

-2x+3

x2

，且a≥

-2

x

對于任意x∈[1，2]恒成立；
設f（x）=

-2x+3

x2

，g（x）=

-2

x

；
∴f′(x)=

-2(x2-2x+3)

x3

=

-2(x-1)2-4

x3

＜0，g′（x）=

2

x2

＞0；
∴f（x）在[1，2]上是減函數，f（x）在[1，2]上的最小值為f（2）=-

1

4

；
g（x）在[1，2]上是增函數，g（x）的最大值為g（2）=-1；
∴a≤-

1

4

，且a≥-1；
∴a的取值范圍為[-1，-

1

4

]．
故答案為：[-1，-

1

4

]．

點評：考查函數定義、值域的概念，以及根據函數導數符號判斷函數的單調性的方法，根據函數的單調性求函數的最值的方法．