Question

設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)，線段的中點(diǎn)在拋物線上. 設(shè)動(dòng)直線與拋物線相切于點(diǎn)，且與拋物線的準(zhǔn)線相交于點(diǎn)，以為直徑的圓記為圓．
（1）求的值；
（2）證明：圓與軸必有公共點(diǎn)；
（3）在坐標(biāo)平面上是否存在定點(diǎn)，使得圓恒過(guò)點(diǎn)？若存在，求出的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）  （2）見解析  （3）存在

試題分析：
（1）判斷拋物線的焦點(diǎn)位置，得到焦點(diǎn)坐標(biāo)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到FA的中點(diǎn)坐標(biāo)帶入拋物線即可求的P的值.
（2）直線與拋物線相切，聯(lián)立直線與拋物線，判別式為0即可得到k,m之間的關(guān)系，可以用k來(lái)替代m，得到P點(diǎn)的坐標(biāo)，拋物線準(zhǔn)線與直線的方程可得到Q點(diǎn)的坐標(biāo)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得到PQ中點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算中點(diǎn)到x軸距離與圓半徑(PQ為直徑)的大小比較即可判斷圓與x軸的位置關(guān)系(點(diǎn)線距離小于或者等于半徑，即相交或者相切).
（3）由(2)可以得到PQ的坐標(biāo)(用k表示)，根據(jù)拋物線對(duì)稱性知點(diǎn)在軸上，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則M點(diǎn)需滿足，即向量?jī)?nèi)積為0，即可得到M點(diǎn)的坐標(biāo)，M點(diǎn)的坐標(biāo)如果為常數(shù)(不含k)，即存在這樣的定點(diǎn)，如若不然，則不存在.
試題解析：
（1）利用拋物線的定義得，故線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，代入方程得，解得。                  2分
（2）由（1）得拋物線的方程為，從而拋物線的準(zhǔn)線方程為     3分
由得方程，
由直線與拋物線相切，得                4分
且，從而，即，                   5分
由，解得，                     6分
∴的中點(diǎn)的坐標(biāo)為
圓心到軸距離，
 
∵ 
所圓與軸總有公共點(diǎn).           8分
(或 由, ,以線段為直徑的方程為:

令得
,所圓與軸總有公共點(diǎn)）.           9分
（3）假設(shè)平面內(nèi)存在定點(diǎn)滿足條件，由拋物線對(duì)稱性知點(diǎn)在軸上，
設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，             10分
由（2）知，
∴  。
由得，
所以，即或           13分
所以平面上存在定點(diǎn)，使得圓恒過(guò)點(diǎn).            14分
證法二：由（2）知，，的中點(diǎn)的坐標(biāo)為

所以圓的方程為           11分
整理得           12分
上式對(duì)任意均成立，
當(dāng)且僅當(dāng)，解得            13分
所以平面上存在定點(diǎn)，使得圓恒過(guò)點(diǎn).            14分