【題目】已知橢圓的離心率為,過右焦點F的直線l與C相交于A、B兩點,當(dāng)l的斜率為1時,坐標(biāo)原點O到l的距離為2。

(1)求橢圓C的方程;

(2)橢圓C上是否存在一點P,使得當(dāng)l繞F轉(zhuǎn)到某一位置時,有成立?若存在,求點P的坐標(biāo)與直線l的方程;若不存在,說明理由。

【答案】(1); (2),直線,或,直線

【解析】

(1) 設(shè),可得直線l的方程為,運用點到直線距離公式,可求出c,再由離心率公式即可求出a,b從而可得橢圓方程;

(2) 設(shè),,, 設(shè)代入橢圓方程消元,再由韋達定理和向量的坐標(biāo)運算,求出點P的坐標(biāo),代入橢圓方程,即可求出結(jié)果.

(1)設(shè),可得直線l的方程為,

即為,由坐標(biāo)原點O到l的距離為2,

即有,解得,

,可得,b=2,

即有橢圓的方程為;

(2)設(shè),,,

①當(dāng)直線的斜率存在,設(shè)其方程為:

,消去y得

,

,

,

將P點坐標(biāo)代入橢圓得,

,∴舍去),即為

當(dāng)時,,直線,

當(dāng)時,,直線

②當(dāng)直線的斜率不存在時,直線的方程為:,

依題意,四邊形OAPB為菱形,此時點P不在橢圓上,

即當(dāng)直線的斜率不存在時,不適合題意;

綜上所述,存在P,且,直線,

,直線

練習(xí)冊系列答案
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參考公式:

.

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(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)已知橢圓的左頂點為,點在圓上,直線與橢圓相交于另一點,且的面積是的面積的倍,求直線的方程.

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(1)已知判斷數(shù)列是否為“數(shù)列”,并說明理由;

(2)已知數(shù)列是“數(shù)列”,且存在整數(shù),使得, , 成等差數(shù)列,證明: 是等差數(shù)列.

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