【題目】設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,對(duì)任意,點(diǎn)都在函數(shù)的圖象上.
(1)求,歸納數(shù)列的通項(xiàng)公式(不必證明).
(2)將數(shù)列依次按項(xiàng)、項(xiàng)、項(xiàng)、項(xiàng)、項(xiàng)循環(huán)地分為,,,,各個(gè)括號(hào)內(nèi)各數(shù)之和,設(shè)由這些和按原來括號(hào)的前后順序構(gòu)成的數(shù)列為,求的值.
(3)設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)積,若不等式對(duì)一切都成立,其中,求的取值范圍.
【答案】(1),,, (2)3012 (3)
【解析】
(1)求得,分別令,2,3,進(jìn)而歸納出數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)寫出幾個(gè)循環(huán)數(shù),可得每一次循環(huán)記為一組,由每一個(gè)循環(huán)含有5個(gè)括號(hào),故是第20組中第5個(gè)括號(hào)內(nèi)的數(shù)之和,每一個(gè)循環(huán)中含有15個(gè)數(shù),20個(gè)循環(huán)具有300個(gè)數(shù),計(jì)算可得所求和;
(3)由題意可得原不等式即為對(duì)一切都成立,
設(shè),則只需,判斷數(shù)列的單調(diào)性,可得最大值,解不等式即可得到所求的范圍.
因?yàn)辄c(diǎn)在函數(shù)的圖象上,故
所以
令,得,所以;
令,得,所以;
令,得,所以;
由此猜想:.
因?yàn)?/span>,所以數(shù)列依次按項(xiàng)、項(xiàng)、項(xiàng)、項(xiàng)、項(xiàng)循環(huán)地分為,,,
每一次循環(huán)記為一組.由于每一個(gè)循環(huán)含有個(gè)括號(hào),故是第組中第個(gè)括號(hào)內(nèi)各數(shù)之和,每個(gè)循環(huán)中有個(gè)數(shù),個(gè)循環(huán)共有個(gè)數(shù).
又,所以.
(3)因?yàn)?/span>故,
所以
又
故對(duì)一切都成立,
就是,則只需即可
由于,所以
故是單調(diào)遞減,
于是,解得.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知集合M是滿足下列性質(zhì)的函數(shù)的全體;在定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)t,使得.
(1)判斷是否屬于集合M,并說明理由;
(2)若屬于集合M,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)若,求證:對(duì)任意實(shí)數(shù)b,都有.
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【題目】為更好地落實(shí)農(nóng)民工工資保證金制度,南方某市勞動(dòng)保障部門調(diào)查了2018年下半年該市名農(nóng)民工(其中技術(shù)工、非技術(shù)工各名)的月工資,得到這名農(nóng)民工的月工資均在(百元)內(nèi),且月工資收入在(百元)內(nèi)的人數(shù)為,并根據(jù)調(diào)查結(jié)果畫出如圖所示的頻率分布直方圖:
(1)求的值;
(2)已知這名農(nóng)民工中月工資高于平均數(shù)的技術(shù)工有名,非技術(shù)工有名.
①完成如下所示列聯(lián)表
技術(shù)工 | 非技術(shù)工 | 總計(jì) | |
月工資不高于平均數(shù) | |||
月工資高于平均數(shù) | |||
總計(jì) |
②則能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下認(rèn)為是不是技術(shù)工與月工資是否高于平均數(shù)有關(guān)系?
參考公式及數(shù)據(jù):,其中.
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【題目】已知定義域?yàn)?/span>的函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù),滿足:,且,,并且當(dāng)時(shí),.給出如下結(jié)論:①函數(shù)是偶函數(shù);②函數(shù)在上單調(diào)遞增;③函數(shù)是以2為周期的周期函數(shù);④.其中正確的結(jié)論是( )
A.①②B.②③C.①④D.③④
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【題目】在直角坐標(biāo)系中,直線,圓,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.
(1)求的極坐標(biāo)方程;
(2)若直線的極坐標(biāo)方程為,設(shè)的交點(diǎn)為A,B,求的面積.
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【題目】遼寧省六校協(xié)作體(葫蘆島第一高中、東港二中、鳳城一中、北鎮(zhèn)高中、瓦房店高中、丹東四中)中的某校理科實(shí)驗(yàn)班的100名學(xué)生期中考試的語文、數(shù)學(xué)成績都不低于100分,其中語文成績的頻率分布直方圖如圖所示,成績分組區(qū)間是:[100,110),[110,120),[120,130),[130,140),[140,150].
這100名學(xué)生語文成績某些分?jǐn)?shù)段的人數(shù)與數(shù)學(xué)成績相應(yīng)分?jǐn)?shù)段的人數(shù)之比如下表所示:
分組區(qū)間 | [100,110) | [110,120) | [120,130) | [130,140) |
1:2 | 2:1 | 3:4 | 1:1 |
(1)估計(jì)這100名學(xué)生語文成績的平均數(shù)、方差(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表);
(2)從數(shù)學(xué)成績?cè)?/span>[130,150] 的學(xué)生中隨機(jī)選取2人,該2人中數(shù)學(xué)成績?cè)?/span>[140,150]的人數(shù)為,求的數(shù)學(xué)期望.
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【題目】下列四個(gè)命題中真命題是
A. 同垂直于一直線的兩條直線互相平行
B. 底面各邊相等,側(cè)面都是矩形的四棱柱是正四棱柱
C. 過空間任一點(diǎn)與兩條異面直線都垂直的直線有且只有一條
D. 過球面上任意兩點(diǎn)的大圓有且只有一個(gè)
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【題目】已知數(shù)列都是由實(shí)數(shù)組成的無窮數(shù)列.
(1)若都是等差數(shù)列,判斷數(shù)列是否是等差數(shù)列,說明理由;
(2)若,且是等比數(shù)列,求的所有可能值;
(3)若都是等差數(shù)列,數(shù)列滿足,求證: 是等差數(shù)列的充要條件是: 中至少有一個(gè)是常數(shù).
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