Question

（12分）（2009•寧夏）已知橢圓C的中心為直角坐標(biāo)系xOy的原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，它的一個(gè)頂點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離分別是7和1

（1）求橢圓C的方程；

（2）若P為橢圓C的動(dòng)點(diǎn)，M為過P且垂直于x軸的直線上的點(diǎn)，，e為橢圓C的離心率，求點(diǎn)M的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線．

 

Answer 1

（1）+=1；

（2）見解析

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)題意，橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離分別是7和1，分析可得這個(gè)頂點(diǎn)是長軸的端點(diǎn)，則有a+c=7，a﹣c=1；解可得ac的值，進(jìn)而可得b的值，即可得答案；

（2）設(shè)M（x，y），P（x，y1 ），根據(jù)橢圓的方程為+=1且P在橢圓上，可得e的值與y12=①；根據(jù)題意，有=e2=②；聯(lián)立①②化簡可得答案．

【解析】
（1）根據(jù)題意，橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離分別是7和1，

則這個(gè)頂點(diǎn)不會(huì)是短軸的端點(diǎn)，而是長軸的端點(diǎn)，

則有a+c=7，a﹣c=1；

解可得a=4，c=3；

則b=；

故橢圓的方程為+=1；

（2）設(shè)M（x，y），P（x，y1 ），

橢圓的方程為+=1中，e==；

又由橢圓方程為+=1，且P在橢圓上，即y12=①；

根據(jù)題意得=e2=②；

①②聯(lián)立化簡可得，y2=；

即y=±，（﹣4≤x≤4）

其軌跡是兩條平行于x軸的線段．