【答案】
分析:理科(1)先求出函數(shù)的定義域,得到定義域關(guān)于原點對稱,在檢驗-x與x的函數(shù)值之間的關(guān)系,得到奇函數(shù).
(2)根據(jù)單調(diào)性的定義,設(shè)出已知大小關(guān)系的任意兩個變量,利用定義證明函數(shù)的單調(diào)性,得到函數(shù)是一個增函數(shù).
(3)由程序框圖知,公差不為零的等差數(shù)列{a
n}要滿足條件,則必有f(a
1)+f(a
2)+…+f(a
10)=0.所以要構(gòu)造滿足條件的等差數(shù)列{a
n},可利用等差數(shù)列的性質(zhì),只需等差數(shù)列{a
n}滿足:a
1+a
10=a
2+a
9═a
5+a
6=0.
文科(1)發(fā)現(xiàn)A、C兩點分別在x軸正負半軸上.設(shè)兩點坐標分別為A(a,0),C(c,0),則有ac<0.對于圓方程x
2+y
2+Dx+Ey+F=0,當y=0時,可得x
2+Dx+F=0,其中方程的兩根分別為點A和點C的橫坐標,于是有x
Ax
C=ac=F,得到故F<0.
(2)寫出對角線互相垂直的四邊形ABCD面積,根據(jù)兩個向量的數(shù)量積等于0,整理出角是一個直角,根據(jù)圓的方程寫出結(jié)果.
(3)設(shè)出和寫出要用的點的坐標,當y=0時可得x
2+Dx+F=0,其中方程的兩根分別為點A和點C的橫坐標,于是有x
Ax
C=ac=F.同理,當x=0時,可得y
2+Ey+F=0,其中方程的兩根分別為點B和點D的縱坐標,于是有y
By
D=bd=F.得到結(jié)果.
解答:解:(1)由
得
,
則
,任取
,
都有f(-x)=
=-f(x),則該函數(shù)為奇函數(shù).
(2)任取0<x
1<x
2<1,
則有0<x
12<x
22<1⇒2-x
12>2-x
22>1,⇒ln(2-x
12)>ln(2-x
22)>0.
又
,
所以
,
即f(x
1)>f(x
2),
故函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減.
(3)由程序框圖知,公差不為零的等差數(shù)列{a
n}要滿足條件,
則必有f(a
1)+f(a
2)+…+f(a
10)=0.
由(1)知函數(shù)f(x)是奇函數(shù),而奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱,
所以要構(gòu)造滿足條件的等差數(shù)列{a
n},可利用等差數(shù)列的性質(zhì),只需等差數(shù)列{a
n}
滿足:a
1+a
10=a
2+a
9═a
5+a
6=0
且
即可.
我們可以先確定a
5,a
6使得a
5+a
6=0,因為公差不為零的等差數(shù)列{a
n}必是單調(diào)的數(shù)列,只要它的最大項和最小項在
中,即可滿足要求.
所以只要a
5,a
6對應的點盡可能的接近原點.如取a
5=-0.1,a
6=0.1,存在滿足條件的一個等差數(shù)列{a
n}可以是a
n=0.2n-1.1(1≤n≤10,n∈N
*).
(文科)(1)由題意,不難發(fā)現(xiàn)A、C兩點分別在x軸正負半軸上.設(shè)兩點坐標分別為A(a,0),C(c,0),
則有ac<0.
對于圓方程x
2+y
2+Dx+Ey+F=0,
當y=0時,可得x
2+Dx+F=0,其中方程的兩根分別為點A和點C的橫坐標,于是有x
Ax
C=ac=F.
因為ac<0,故F<0.
(2)對角線互相垂直的四邊形ABCD面積
,
因為S=8,|AC|=2,可得|BD|=8.
又因為
,
所以∠A為直角,而因為四邊形是圓M的內(nèi)接四邊形,
故|BD|=2r=8⇒r=4.
對于方程x
2+y
2+Dx+Ey+F=0所表示的圓,
可知
,
所以D
2+E
2-4F=4r
2=64.
(3)證:設(shè)四邊形四個頂點的坐標分別為A(a,0),B(0,b),C(c,0),D(0,d).
則可得點G的坐標為
,即
.
又
,且AB⊥OH,故要使G、O、H三點共線,只需證
即可.
而
,且對于圓M的一般方程x
2+y
2+Dx+Ey+F=0,
當y=0時可得x
2+Dx+F=0,其中方程的兩根分別為點A和點C的橫坐標,
于是有x
Ax
C=ac=F.
同理,當x=0時,可得y
2+Ey+F=0,其中方程的兩根分別為點B和點D的縱坐標,
于是有y
By
D=bd=F.
所以,
,即AB⊥OG.
故O、G、H必定三點共線.
點評:本題是一個文理合卷的題目,有兩個題目分別考查函數(shù)的性質(zhì)和直線與圓的方程,本題解題的關(guān)鍵是看清題目的實質(zhì),抓住解題的主要方法.