【題目】已知線(xiàn)段AB的端點(diǎn)B的坐標(biāo)是(4,2),端點(diǎn)A在圓C:(x+2)2+y2=16上運(yùn)動(dòng).
(1)求線(xiàn)段AB的中點(diǎn)的軌跡方程H.
(2)判斷(1)中軌跡H與圓C的位置關(guān)系.
(3)過(guò)點(diǎn)P(3,2)作兩條相互垂直的直線(xiàn)MN,EF,分別交(1)中軌跡H于M,N和E,F,求四邊形MNFE面積的最大值
【答案】(1)(x﹣1)2+(y﹣1)2=4.(2)兩圓相交.(3).
【解析】
(1)設(shè),,中點(diǎn),根據(jù)已知關(guān)系,由相關(guān)點(diǎn)法即可得出圓的方程;
(2)比較圓心距與兩圓半徑的關(guān)系,得出兩圓位置關(guān)系;
(3)根據(jù)圓的完美性,本題把圓和點(diǎn)同時(shí)向左和向下平移一個(gè)單位后,就可以把問(wèn)題轉(zhuǎn)換為與圓的問(wèn)題求解.
(1)設(shè)A(x0,y0),中點(diǎn)H(x,y),
則,∴,
代入圓C:(x+2)2+y2=16中,
化簡(jiǎn)得圓H:(x﹣1)2+(y﹣1)2=4;
(2)兩圓圓心分別為C(﹣2,0),H(1,1),半徑分別為,
∴圓心距d,
∴r1﹣r2<d<r1+r2
∴兩圓相交;
(3)根據(jù)圓的完美性,本題把圓和點(diǎn)同時(shí)向左和向下平移一個(gè)單位后,
就可以把問(wèn)題轉(zhuǎn)換為(2,1)與圓x2+y2=4的問(wèn)題,
為方便,點(diǎn)名均不變,則P(2,1),H(0,0),
記圓心H到直線(xiàn)MN,EF的距離分別為d1,d2,
則,r=2,
,
,
,
,
所以四邊形MNFE的面積為
,
又由可以得|x1x2+y1y2|,
所以,
當(dāng)且僅當(dāng)d1=d2時(shí)取等號(hào),
即四邊形MNFE的面積最大為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某電視臺(tái)“挑戰(zhàn)主持人”節(jié)目的挑戰(zhàn)者闖第一關(guān)需要回答三個(gè)問(wèn)題,其中前兩個(gè)問(wèn)題回答正確各得分,回答不正確得分,第三個(gè)問(wèn)題回答正確得分,回答不正確得分.如果一個(gè)挑戰(zhàn)者回答前兩個(gè)問(wèn)題正確的概率都是,回答第三個(gè)問(wèn)題正確的概率為,且各題回答正確與否相互之間沒(méi)有影響.若這位挑戰(zhàn)者回答這三個(gè)問(wèn)題總分不低于分就算闖關(guān)成功.
(Ⅰ)求至少回答對(duì)一個(gè)問(wèn)題的概率;
(Ⅱ)求這位挑戰(zhàn)者回答這三個(gè)問(wèn)題的總得分X的分布列;
(Ⅲ)求這位挑戰(zhàn)者闖關(guān)成功的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列四個(gè)結(jié)論:
①在回歸分析模型中,殘差平方和越大,說(shuō)明模型的擬合效果越好;
②某學(xué)校有男教師60名、女教師40名,為了解教師的體育愛(ài)好情況,在全體教師中抽取20名調(diào)查,則宜采用的抽樣方法是分層抽樣;
③線(xiàn)性相關(guān)系數(shù)越大,兩個(gè)變量的線(xiàn)性相關(guān)性越弱;反之,線(xiàn)性相關(guān)性越強(qiáng);
④在回歸方程中,當(dāng)解釋變量每增加一個(gè)單位時(shí),預(yù)報(bào)變量增加0.5個(gè)單位.
其中正確的結(jié)論是( )
A. ①②B. ①④
C. ②③D. ②④
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中.
(1)討論的單調(diào)性;
(2)若有兩個(gè)極值點(diǎn),,證明:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】幾位大學(xué)生響應(yīng)國(guó)家的創(chuàng)業(yè)號(hào)召,開(kāi)發(fā)了一款應(yīng)用軟件.為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動(dòng).這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問(wèn)題的答案:已知數(shù)列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一項(xiàng)是20,接下來(lái)的兩項(xiàng)是20,21,再接下來(lái)的三項(xiàng)是20,21,22,依此類(lèi)推.求滿(mǎn)足如下條件的最小整數(shù)N:N>100且該數(shù)列的前N項(xiàng)和為2的整數(shù)冪.那么該款軟件的激活碼是
A. 440B. 330
C. 220D. 110
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)O是四邊形ABCD的中心,關(guān)于直線(xiàn)A1O,下列說(shuō)法正確的是( )
A. A1O∥DCB. A1O⊥BCC. A1O∥平面BCDD. A1O⊥平面ABD
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為、,,點(diǎn)在橢圓上,且的周長(zhǎng)為
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)若點(diǎn)的坐標(biāo)為,不過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓相交于,兩點(diǎn),設(shè)線(xiàn)段的中點(diǎn)為,點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為,且,,三點(diǎn)共線(xiàn),求的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,三棱柱ABC﹣A'B'C',AC=2,BC=4,∠ACB=120°,∠ACC'=90°,且平面AB'C⊥平面ABC,二面角A'﹣AC﹣B'為30°,E、F分別為A'C、B'C'的中點(diǎn).
(1)求證:EF∥平面AB'C;
(2)求B'到平面ABC的距離;
(3)求二面角A﹣BB'﹣C'的余弦值.
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