【題目】已知橢圓的兩個焦點分別為、,,點在橢圓上,且的周長為
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)若點的坐標為,不過原點的直線與橢圓相交于,兩點,設(shè)線段的中點為,點到直線的距離為,且,,三點共線,求的最大值.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).
【解析】
(Ⅰ)根據(jù)焦距和焦點三角形周長可求得,利用求得,從而可得橢圓的方程;(Ⅱ)當直線斜率不存在時,可判斷出,,三點不共線,不符合題意;所以可假設(shè)出直線方程,與橢圓方程聯(lián)立,利用韋達定理表示出和;由三點共線得到斜率相等關(guān)系,從而可求得;利用弦長公式和點到直線距離公式求得和,代入可整理出:,可知當時取最大值.
(Ⅰ)由題意得:,
解得:,
橢圓的方程為
(Ⅱ)設(shè),
當直線與軸垂直時,由橢圓的對稱性可知,點在軸上,且與點不重合
顯然,,三點不共線,不符合題設(shè)條件
故可設(shè)直線的方程
由,消去整理得:……①
則
, 點的坐標為
,,三點共線
此時方程①為:,則
則,
又
當時,的最大值為
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【題目】已知線段AB的端點B的坐標是(4,2),端點A在圓C:(x+2)2+y2=16上運動.
(1)求線段AB的中點的軌跡方程H.
(2)判斷(1)中軌跡H與圓C的位置關(guān)系.
(3)過點P(3,2)作兩條相互垂直的直線MN,EF,分別交(1)中軌跡H于M,N和E,F,求四邊形MNFE面積的最大值
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【題目】已知函數(shù)
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性
(2)函數(shù),且.若在區(qū)間(0,2)內(nèi)有零點,求實數(shù)m的取值范圍
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【題目】在平面直角坐標系中,以坐標原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為,直線的極坐標方程為.
(1)求曲線與直線的直角坐標方程.
(2)直線與軸的交點為,與曲線的交點為,,求的值.
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【題目】隨著手機的發(fā)展,“微信”逐漸成為人們支付購物的一種形式.某機構(gòu)對“使用微信支付”的態(tài)度進行調(diào)查,隨機抽取了50人,他們年齡的頻數(shù)分布及對“使用微信支付”贊成人數(shù)如下表.
年齡 (單位:歲) | , | , | , | , | , | , |
頻數(shù) | 5 | 10 | 15 | 10 | 5 | 5 |
贊成人數(shù) | 5 | 10 | 12 | 7 | 2 | 1 |
(Ⅰ)若以“年齡45歲為分界點”,由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)完成下面列聯(lián)表,并判斷是否有99%的把握認為“使用微信支付”的態(tài)度與人的年齡有關(guān);
年齡不低于45歲的人數(shù) | 年齡低于45歲的人數(shù) | 合計 | |
贊成 | |||
不贊成 | |||
合計 |
(Ⅱ)若從年齡在的被調(diào)查人中按照贊成與不贊成分層抽樣,抽取5人進行追蹤調(diào)查,在5人中抽取3人做專訪,求3人中不贊成使用微信支付的人數(shù)的分布列和期望值.
參考數(shù)據(jù):
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
,其中.
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【題目】已知橢圓的兩個焦點分別為、,,點在橢圓上,且的周長為
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)若點的坐標為,不過原點的直線與橢圓相交于,兩點,設(shè)線段的中點為,點到直線的距離為,且,,三點共線,求的最大值.
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【題目】如圖所示,已知橢圓: 的長軸為,過點的直線與軸垂直,橢圓上一點與橢圓的長軸的兩個端點構(gòu)成的三角形的最大面積為2,且橢圓的離心率為.
(1)求橢圓的標準方程;
(2) 設(shè)是橢圓上異于, 的任意一點,連接并延長交直線于點, 點為的中點,試判斷直線與橢圓的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論.
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【題目】某校為了推動數(shù)學教學方法的改革,學校將高一年級部分生源情況基本相同的學生分成甲乙兩個班,每班各40人,甲班按原有模式教學,乙班實施教學方法改革.經(jīng)過一年的教學實驗,將甲乙兩個班學生一年來的數(shù)學成績?nèi)∑骄鶖?shù),兩個班學生的平均成績均在,按照區(qū)間,,進行分組,繪制成如下頻率分布直方圖,規(guī)定不低于80分(百分制)為優(yōu)秀.
(1)完成表格,并判斷是否有90%以上的把握認為“數(shù)學成績優(yōu)秀與教學改革有關(guān)”;
甲班 | 乙班 | 總計 | |
大于等于80分的人數(shù) | |||
小于80分的人數(shù) | |||
總計 |
(2)從乙班分數(shù)段中,按分層抽樣隨機抽取7名學生座談,從中選三位同學發(fā)言,記來自發(fā)言的人數(shù)為隨機變量,求的分布列和期望.附:,
0.10 | 0.05 | 0.025 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 |
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