P為橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)上一點，F(xiàn)1、F2是橢圓的左、右焦點，若使△F1PF2為直角三角形的點P共有8個，則橢圓離心率的取值范圍是
（
2
2
，1）
（
2
2
，1）
．
分析：由于分別過焦點且垂直于x軸的直線與橢圓的交點P可構(gòu)成四個直角三角形．欲使△F1PF2為直角三角形的點P共有8個，由橢圓的幾何性質(zhì)可知，當點P位于（0，b）或（0，-b）處時，∠F1PF2最大，必須∠F1PF2＞90°，此時 cos∠F1PF2=
a2+a2-4c2
2a2
=
a2-2c2
a2
＜0，∴a＜
2
c，由此能夠推導出該橢圓的離心率的取值范圍．
解答：解：由題意可知，分別過焦點且垂直于x軸的直線與橢圓的交點P可構(gòu)成四個直角三角形．
而當點P位于（0，b）或（0，-b）處時，∠F1PF2最大，
由條件：欲使△F1PF2為直角三角形的點P共有8個，必須∠F1PF2＞90°，
故 cos∠F1PF2=
a2+a2-4c2
2a2
=
a2-2c2
a2
＜0，⇒a＜
2
c，
∴e=
c
a
＞
2
2
，
又∵0＜e＜1，∴1＞e＞
2
2
．
故答案為：(
2
2
，1)．
點評：本題考查橢圓的性質(zhì)及其應用、余弦定理等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
2
2
，以原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線x-y+
2
=0相切．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若過點M（2，0）的直線與橢圓C相交于A，B兩點，設(shè)P為橢圓上一點，且滿足
OA
+
OB
=t
OP
（O為坐標原點），當|
PA
-
PB
|＜
2
5
3
時，求實數(shù)t取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在平面直角坐標系中，定義以原點為圓心，以
a2+b2
為半徑的圓O為橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的“準圓”．已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1的離心率為
3
3
，直線l：2x-y+5=0與橢圓C的“準圓”相切．
（1）求橢圓C的方程；
（2）P為橢圓C的右準線上一點，過點P作橢圓C的“準圓”的切線段PQ，點F為橢圓C的右焦點，求證：|PQ|=|PF|
（3）過點M(-
6
5
，0)的直線與橢圓C交于A，B兩點，為Q橢圓C的左頂點，是否存在直線l使得△QAB為直角三角形？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

定義：離心率e=
5
-1
2
的橢圓為“黃金橢圓”，已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的一個焦點為F（c，0）（c＞0），P為橢圓E上的任意一點．
（1）試證：若a，b，c不是等比數(shù)列，則E一定不是“黃金橢圓”；
（2）沒E為黃金橢圓，問：是否存在過點F、P的直線l，使l與y軸的交點R滿足
RP
=-2
PF
？若存在，求直線l的斜率k；若不存在，請說明理由；
（3）已知橢圓E的短軸長是2，點S（0，2），求使
SP
2取最大值時點P的坐標．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），其左、右焦點分別為F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0），且a、b、c成等比數(shù)列．
（1）求隨圓c的離心率e；
（2）若P為橢圓c上一點，是否存在過點F2、P的直線l，使l與y軸的交點Q滿足
PQ
=2
PF2
？若存在，求直線l的斜率k；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

以下五個命題中：
①若兩直線平行，則兩直線斜率相等；
②設(shè)F1、F2為兩個定點，a為正常數(shù)，且||PF1|-|PF2||=2a，則動點P的軌跡為雙曲線；
③方程2x2-5x+2=0的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率；
④對任意實數(shù)k，直線l：kx-y+1-k=0與圓x2+y2-2y-4=0的位置關(guān)系是相交；
⑤P為橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上一點，F(xiàn)為它的一個焦點，則以PF為直徑的圓與以長軸為直徑的圓相切．
其中真命題的序號為
③④⑤
③④⑤
．（寫出所有真命題的序號）

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同步練習冊答案