精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），其左、右焦點分別為F1（-c，0），F2（c，0），且a、b、c成等比數列．
（1）求隨圓c的離心率e；
（2）若P為橢圓c上一點，是否存在過點F2、P的直線l，使l與y軸的交點Q滿足
PQ
=2
PF2
？若存在，求直線l的斜率k；若不存在，說明理由．
分析：（1）由題設b2=ac及b2=a2-c2，由此能求出橢圓的離心率e的值．
（2）假設存在滿足題意的直線l，設l的方程為：y=k（x-c），易求Q點坐標，由
PQ
=2
PF2
可得P點坐標，把P點坐標代入橢圓方程，借助離心率可得k的方程，易判斷該方程解的情況；
解答：（1）解：∵橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），其左、右焦點分別為F1（-c，0）、F2（c，0），
且a，b，c成等比數列．
∴b2=ac及b2=a2-c2，
∴ac=a2-c2，兩邊同除以a2，得
e=1-e2，
解得e=
5
-1
2
，e=
-
5
-1
2
（舍）．
∴e=
5
-1
2
；
（2）不存在滿足題意的直線l，理由如下：
若存在，該直線必有斜率，設l的方程為：y=k（x-c），
令x=0，得y=-ck，故Q（0，-ck），
由
PQ
=2
PF2
，知F2為P、Q的中點，則P（2c，ck），
把點P坐標代入橢圓方程，得
4c2
a2
+
c2k2
b2
=1①，
由（1）知，
c2
a2
=(
5
-1
2
)2=
3-
5
2
，
c2
b2
=
c2
a2-c2
=
e2
1-e2
=
5
-1
2
，
∴①可化為4×
3-
5
2
+
5
-1
2
k2=1，即
5
-1
2
k2=2
5
-5＜0，無解，
故不存在這樣的直線l．
點評：本題考查橢圓的標準方程、直線與橢圓的位置關系，考查學生分析問題解決問題的能力，本題具有一定的開放性，給學生提供了開放的思維空間．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
1
2
，且經過點P(1，
3
2
)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設F是橢圓C的左焦，判斷以PF為直徑的圓與以橢圓長軸為直徑的圓的位置關系，并說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短軸長為2
3
，右焦點F與拋物線y2=4x的焦點重合，O為坐標原點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設A、B是橢圓C上的不同兩點，點D（-4，0），且滿足
DA
=λ
DB
，若λ∈[
3
8
，
1
2
]，求直線AB的斜率的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）經過點A（1，
3
2
），且離心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點B（-1，0）能否作出直線l，使l與橢圓C交于M、N兩點，且以MN為直徑的圓經過坐標原點O．若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•房山區(qū)二模）已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的長軸長是4，離心率為
1
2
．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）設過點P（0，-2）的直線l交橢圓于M，N兩點，且M，N不與橢圓的頂點重合，若以MN為直徑的圓過橢圓C的右頂點A，求直線l的方程．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的短軸長為2，離心率為
2
2
，設過右焦點的直線l與橢圓C交于不同的兩點A，B，過A，B作直線x=2的垂線AP，BQ，垂足分別為P，Q．記λ=
AP+BQ
PQ
，若直線l的斜率k≥
3
，則λ的取值范圍為
 
．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案