Question

在平面直角坐標系xOy中，曲線C₁的參數(shù)方程為

x=4t2 y=4t

（其中t為參數(shù)）．以坐標原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系并取相同的單位長度，曲線C₂的極坐標方程為ρcos(θ+

π

4

)=

2

2

．
（Ⅰ）把曲線C₁的方程化為普通方程，C₂的方程化為直角坐標方程；
（Ⅱ）若曲線C₁，C₂相交于A，B兩點，AB的中點為P，過點P做曲線C₂的垂線交曲線C₁于E，F(xiàn)兩點，求|PE|•|PF|．

Answer 1

考點：參數(shù)方程化成普通方程,簡單曲線的極坐標方程

專題：坐標系和參數(shù)方程

分析：（I）曲線C₁的參數(shù)方程為

x=4t2 y=4t

（其中t為參數(shù)），消去參數(shù)即可得出．曲線C₂的極坐標方程為ρcos(θ+

π

4

)=

2

2

，展開為

2

2

(ρcosθ-ρsinθ)=

2

2

，利用

x=ρcosθ y=ρsinθ

即可得出．
（II）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且中點為P（x₀，y₀），聯(lián)立拋物線與直線的方程可得x²-6x+1=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系、中點坐標公式可得x0=

x1+x2

2

=3，y₀=2．進而點到線段AB的中垂線的參數(shù)方程為

x=3- 2 2 t y=2+ 2 2 t

（t為參數(shù)），代入拋物線方程，利用參數(shù)的意義即可得出．

解答： 解：（I）曲線C₁的參數(shù)方程為

x=4t2 y=4t

（其中t為參數(shù)），消去參數(shù)可得y²=4x．
曲線C₂的極坐標方程為ρcos(θ+

π

4

)=

2

2

，展開為

2

2

(ρcosθ-ρsinθ)=

2

2

，化為x-y-1=0．
（II）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且中點為P（x₀，y₀），
聯(lián)立

y2=4x x-y-1=0

，解得x²-6x+1=0，
∴x₁+x₂=6，x₁x₂=1．
∴x0=

x1+x2

2

=3，y₀=2．
線段AB的中垂線的參數(shù)方程為

x=3- 2 2 t y=2+ 2 2 t

（t為參數(shù)），
代入y²=4x，可得t2+8

2

t-16=0，
∴t₁t₂=-16，
∴|PE|•|PF|=|t₁t₂|=16．

點評：本題考查了極坐標方程化為直角坐標方程、參數(shù)方程化為普通方程、參數(shù)的應(yīng)用，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．