Question

直線y=kx-2與拋物線y²=2x相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）若k=1，求證：OA⊥OB；
（2）求弦AB中點(diǎn)M的軌跡方程．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）把k=1代入直線方程，和拋物線方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)關(guān)系求得A，B兩點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)的乘積，由x₁x₂+y₁y₂=0得到OA⊥OB；
（2）設(shè)出A，B的坐標(biāo)，代入拋物線方程，利用點(diǎn)差法把AB的斜率用AB中點(diǎn)的坐標(biāo)表示，代入直線方程可得弦AB中點(diǎn)M的軌跡方程．

解答： （1）證明：k=1時(shí)，直線方程為y=x-2，
聯(lián)立

y=x-2 y2=2x

，得x²-6x+4=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=6，x₁x₂=4，y₁y₂=（x₁-2）（x₂-2）=x₁x₂-2（x₁+x₂）+4=-4．
此時(shí)x₁x₂+y₁y₂=0，
∴OA⊥OB；
（2）解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x，y），
則y12=2x1，y22=2x2，
兩式相減得（y₁-y₂）（y₁+y₂）=2（x₁-x₂）

y1-y2

x1-x2

=

2

y1+y2

，
即kAB=

2

y1+y2

=

1

y

，
代入入y=kx-2，得x-y²-2y=0，即（y+1）²=x+1．
∴弦AB中點(diǎn)M的軌跡方程為：（y+1）²=x+1．

點(diǎn)評：本題考查了拋物線的簡單幾何性質(zhì)，考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，訓(xùn)練了利用點(diǎn)差法求與中點(diǎn)弦有關(guān)的問題，是中檔題．