Question

在直角坐標系xOy中，以O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，已知△ABC三個頂點的極坐標分別為A（2

2

、

3π

4

）、B（4，

π

2

）、C（2，

π

2

），直線l的參數(shù)方程為

x=-2t y=2t+1

（t為參數(shù)）．
（1）求△ABC的外接圓D的極坐標方程；
（2）設直線l與圓D相交于M、N，求弦長|MN|的值．

Answer 1

考點：簡單曲線的極坐標方程,參數(shù)方程化成普通方程

專題：計算題,直線與圓,坐標系和參數(shù)方程

分析：（1）運用極坐標和直角坐標的關系，化極坐標為直角坐標，再由三角形為直角三角形，△ABC的外接圓D為AB為直徑的圓，求出直角坐標方程，再轉(zhuǎn)化為極坐標方程；
（2）求出圓心到直線的距離，由弦長公式a=2

r2-d2

，計算即可得到．

解答： 解：（1）△ABC三個頂點的極坐標分別為A（2

2

、

3π

4

）、B（4，

π

2

）、C（2，

π

2

），
則它們的直角坐標為A（-2，2），B（0，4），C（0，2），
則△ABC為直角三角形，AB為斜邊，
即有△ABC的外接圓D為AB為直徑的圓，
其直角坐標方程為（x+1）²+（y-3）²=2，
化為極坐標方程為（ρcosθ+1）²+（ρsinθ-3）²=2，
即為ρ²+2ρcosθ-6ρsinθ+8=0；
（2）直線l的參數(shù)方程為

x=-2t y=2t+1

（t為參數(shù)），
即為直線l：x+y-1=0，
圓D的圓心為（-1，3），半徑r=

2

，
則圓心到直線的距離d=

|-1+3-1|

2

=

2

2

，
則弦長|MN|=2

r2-d2

=2

2- 1 2

=

6

．

點評：本題考查極坐標與直角坐標的互化，考查圓的方程的求法，直線和圓相交的弦長問題，考查運算能力，屬于基礎題．