Question

【題目】如圖，某市有相交于點(diǎn)O的一條東西走向的公路l，與南北走向的公路m，這兩條公路都與一塊半徑為1（單位：千米）的圓形商城A相切．根據(jù)市民建議，欲再新建一條公路PQ，點(diǎn)P、Q分別在公路l、m上，且要求PQ與圓形商城A也相切．

（1）當(dāng)P距O處4千米時(shí)，求OQ的長；

（2）當(dāng)公路PQ長最短時(shí)，求OQ的長．

Answer 1

【答案】(1) 3千米．(2) 千米

【解析】

（1）先建立以O為原點(diǎn)，直線l、m分別為x，y軸建立平面直角坐標(biāo)系．設(shè)直線方程為：，由直線與圓的位置關(guān)系可得，運(yùn)算即可得解；

（2）設(shè)，，由PQ與圓A相切，得，再結(jié)合重要不等式即可得解.

解：（1）以O為原點(diǎn)，直線l、m分別為x，y軸建立平面直角坐標(biāo)系．

設(shè)PQ與圓A相切于點(diǎn)B，連結(jié)AB，以1千米為單位長度，

則圓A的方程為，

由題意可設(shè)直線PQ的方程為，即，，

∵PQ與圓A相切，∴，解得，

故當(dāng)P距O處4千米時(shí)，OQ的長為3千米．

（2）設(shè)，，

則直線PQ方程為，即．

因?yàn)?/span>PQ與圓A相切，所以，

化簡得，即；

解法一：因此．

因?yàn)?/span>，，所以，于是．

又，解得，或

因?yàn)?/span>，所以，

，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，

所以PQ最小值為，此時(shí)．

答：當(dāng)P、Q兩點(diǎn)距離兩公路的交點(diǎn)O都為（千米）時(shí)，新建公路PQ最短．

解法二：

化簡得，即．

因?yàn)?/span>

因?yàn)?/span>，所以．

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取到等號(hào)，

答：當(dāng)P、Q兩點(diǎn)距離兩公路的交點(diǎn)O都為（千米）時(shí)，新建公路PQ最短．

解法三：設(shè)PQ與圓A相切于點(diǎn)B，連結(jié)AB、AP、AQ，設(shè)，

則，，且，∴，

又∵，∴，

∴

（當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)）

答：當(dāng)P、Q兩點(diǎn)距離兩公路的交點(diǎn)O都為（千米）時(shí)，新建公路PQ最短．

解法四：設(shè)PQ與相切于點(diǎn)B，設(shè)，，

則，，，

在中，由得：，

化簡得：，∴，

解得：或（舍）

（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）

∴當(dāng)時(shí)，PQ有最小值；

答：當(dāng)P、Q兩點(diǎn)距離公路交點(diǎn)O都為（千米）時(shí)，新建公路PQ最短．