已知函數(shù)的圖像過坐標(biāo)原點(diǎn),且在點(diǎn) 處的切線斜率為.
(1)求實(shí)數(shù)的值;
(2) 求函數(shù)在區(qū)間上的最小值;
(Ⅲ)若函數(shù)的圖像上存在兩點(diǎn),使得對(duì)于任意給定的正實(shí)數(shù)都滿足是以為直角頂點(diǎn)的直角三角形,且三角形斜邊中點(diǎn)在軸上,求點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍.
(1);(2);(Ⅲ)點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍為.
解析試題分析:(1)求實(shí)數(shù)的值求導(dǎo)數(shù),根據(jù)函數(shù)在點(diǎn)處的切線的斜率是,由導(dǎo)數(shù)的幾何意義,及當(dāng)時(shí),,對(duì)函數(shù)求導(dǎo)數(shù)得,,依題意,可求出,又因?yàn)閳D象過坐標(biāo)原點(diǎn),則,即可求得實(shí)數(shù)的值;(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最小值,當(dāng)時(shí),,對(duì)函數(shù)求導(dǎo)函數(shù),令,解出的值,確定函數(shù)的單調(diào)性,計(jì)算導(dǎo)數(shù)等零點(diǎn)與端點(diǎn)的函數(shù)值,從而可得函數(shù)在區(qū)間上的最小值;(Ⅲ)設(shè),因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/d5/d/1hteu2.png" style="vertical-align:middle;" />中點(diǎn)在軸上,所以,根據(jù),可得,分類討論,確定函數(shù)的解析式,利用,即可求得結(jié)論.
試題解析:(1)當(dāng)時(shí),,
依題意,
又 故 3分
(2)當(dāng)時(shí),
令有,故在單調(diào)遞減;在單調(diào)遞增;
在單調(diào)遞減.又,
所以當(dāng)時(shí), 6分
(Ⅲ)設(shè),因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/d5/d/1hteu2.png" style="vertical-align:middle;" />中點(diǎn)在軸上,所以
又 ①
(ⅰ)當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),.故①不成立 7分
(ⅱ)當(dāng)時(shí),代人①得:
,
無解 8分
(ⅲ)當(dāng)時(shí),代人①得:
②
設(shè),則是增函數(shù).
的值域是
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù)f(x)=x3+x2-ax-a,x∈R,其中a>0.
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(-2,0)內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn),求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù)f(x)=-aln x++x(a≠0),
(1)若曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與直線x-2y=0垂直,求實(shí)數(shù)a的值;
(2)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
設(shè)直線是曲線的一條切線,.
(1)求切點(diǎn)坐標(biāo)及的值;
(2)當(dāng)時(shí),存在,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
設(shè),函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),求在內(nèi)的極大值;
(2)設(shè)函數(shù),當(dāng)有兩個(gè)極值點(diǎn)時(shí),總有,求實(shí)數(shù)的值.(其中是的導(dǎo)函數(shù).)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
學(xué)校操場邊有一條小溝,溝沿是兩條長150米的平行線段,溝寬為2米,,與溝沿垂直的平面與溝的交線是一段拋物線,拋物線的頂點(diǎn)為,對(duì)稱軸與地面垂直,溝深2米,溝中水深1米.
(Ⅰ)求水面寬;
(Ⅱ)如圖1所示形狀的幾何體稱為柱體,已知柱體的體積為底面積乘以高,求溝中的水有多少立方米?
(Ⅲ)現(xiàn)在學(xué)校要把這條水溝改挖(不準(zhǔn)填土)成截面為等腰梯形的溝,使溝的底面與地面平行,溝深不變,兩腰分別與拋物線相切(如圖2),問改挖后的溝底寬為多少米時(shí),所挖的土最少?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
設(shè)函數(shù).
(Ⅰ)求函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間;
(Ⅱ)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的最大值和最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù).
(1)證明函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減;
(2)若不等式對(duì)任意的都成立,(其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),求實(shí)數(shù)的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù),f '(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),若f '(x)是偶函數(shù)且f '(1)=0.
⑴求函數(shù)的解析式;
⑵若對(duì)于區(qū)間上任意兩個(gè)自變量的值,都有,求實(shí)數(shù)的最小值;
⑶若過點(diǎn),可作曲線的三條切線,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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